Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

173. Сопряженный оператор.

В случае ограниченного оператора интеграл

где неотрицательная функция определяется формулой (94), может не иметь смысла для некоторых из Множество тех из для которых он имеет смысл, есть, очевидно, некоторый линеал l в

Теорема 1. Линеал l повсюду плотен в .

Нам надо доказать, что замыкание l дает все . Если бы это было не так, то существовал бы ненулевой элемент из ортогональный к подпространству, полученному замыканием и тем самым ко всем из Таким образом, нам достаточно доказать,

что если ортогонально ко всем из , т. е.

то эквивалентно нулю. Выберем из специальным образом. Пусть — какое-либо конечное положительное число, множество тех для которых любая часть меры . Определим так, что если для других Такое принадлежит и, применяя (100), получим

Это равенство справедливо и для любой части а потому, например,

где есть положительная часть эквивалентна нулю на Беспредельно увеличивая и принимая во внимание (94), получим, что эквивалентна нулю на Аналогично можем утверждать то же и для и лемма доказана. Отметим, что при доказательстве леммы мы пользовались лишь тем, что любая заданная неотрицательная, почти везде конечная и измеримая на функция. В дальнейшем через будем обозначать аналогичный линеал для произведения Он также повсюду плотен в

Теорема 2. Если формула (93) определяет ограниченный оператору то сопряженный оператор есть интегральный оператор с ядром.

Обозначая через А оператор (93) и принимая во внимание определение сопряженного оператора можем написать

где и мы считаем, что

Принимая во внимание неравенство

и тот факт, что можем утверждать, что существует один из повторных интегралов для и, следовательно, в интеграле, стоящем в левой части (104), мы можем менять порядок интегрирования, а потому можем переписать формулу (104) в виде

Повторяя доказательство теоремы 1, убедимся в том, что разность, стоящая в квадратных скобках, эквивалентна нулю, и, переходя к сопряженным величинам, можно написать

откуда и следует утверждение теоремы. Равенство запишется для интегральных операторов, в силу доказанной теоремы, в виде

что сводится к возможности изменения порядка интегрирования. Соответствующий двойной интеграл может и не существовать. Если ядро удовлетворяет, кроме указанных условий, еще условию

то оператор (105) совпадает с оператором (93), т. е. оператор (93) — самосопряженный.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление