Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

174. Вполне непрерывные операторы.

Выше мы видели, что если измеримая в квадрате функция удовлетворяет условию

то оператор (93) вполне непрерывен в Для интегрального уравнения

где заданная и искомая функция из на имеет место сказанное в [135].

Если оператор (93) — самосопряженный, т. е. эквивалентна то к уравнению (109) применимо сказанное в [136].

Покажем, что интеграл (108) равен абсолютной норме оператора (93). Предварительно докажем лемму.

Лемма. Если есть замкнутая ортонормированная система на промежутке то есть замкнутая ортонормированная в квадрате система.

По условию

Функции принадлежат, очевидно, и, в силу теоремы Фубини,

откуда следует ортонормированность . Для доказательства замкнутости этой системы достаточно показать, что если ортогональна ко всем то она эквивалентна нулю в . Итак, пусть

т. е.

и, в силу замкнутости системы от переходя к сопряженным величинам, получим

и, в силу тех же соображений, можем утверждать, что почти везде в и лемма доказана. Пусть коэффициент Фурье ядра принадлежащего в силу (108):

Определим квадрат абсолютной нормы оператора соответствующего этому ядру ,

но последняя сумма, в силу уравнения замкнутости, и равна интегралу (108). Если выполнено условие (108) и А — самосопряженный оператор, то

где — собственные значения.

Все сказанное в [135] и [136] сохраняется в случае бесконечного промежутка и для многомерного оператора

где точки -мерного пространства и - некоторая область .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление