Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

179. Преобразование Фурье и функции Эрмита.

Мы покажем сейчас, что преобразование Фурье имеет четыре собственных значения которым соответствует замкнутая ортонормированная на промежутке система собственных функций, а именно это суть функции Эрмита

Напомним основные формулы, относящиеся к функциям Эрмита. Полиномы Эрмита определяются формулой

и функции Эрмига

Они ортогональны на промежутке . Нормированные функции Эрмита будут:

Они образуют замкнутую ортонормированную систему. Докажем, что есть собственная функция оператора соответствующая собственному значению т. е.

Иначе говоря, нам надо доказать формулу

Интегрируем по частям и принимаем во внимание обращение в нуль внеинтегральных членов:

Умножаем вне знака интеграла на и под знаком на :

Дифференцируя по параметру у, легко показать, что последний интеграл равен и, таким образом, формула (155) доказана. Учитывая замкнутость системы функций Эрмита, можно показать, что точки исчерпывают весь спектр оператора Т.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление