Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

204. Максимальные операторы.

Укажем простой прием построения максимальных операторов. Выберем какую-либо полную ортонормированную в И систему

и определим изометрическое преобразование U формулой т. е. для любого элемента у из Н

мы имеем

Следуя обозначениям из [201], можем сказать, что V есть Н, а L образовано всеми ортами (137), кроме и формулы (124) и (125), в которых у — любой элемент приведут нас к замкнутому симметричному оператору А с индексами дефекта (0,1). Надо только проверить, что линеал образованный элементами плотен в . Для этого достаточно, очевидно, показать, что существуют элементы из такие, что для любого заданного орта норма сколь угодно мала. Образуем элемент

где — некоторое целое положительное число. Мы имеем

откуда, в силу теоремы Пифагора и нормированности , следует

и, беспредельно увеличивая будем иметь сколь угодно малые значения для что и требовалось доказать. Максимальный оператор указанного типа называется элементарным симметричным оператором. Если положить , то совпадет с а вместо формул (119) и (120) получим: откуда при замене на видно, что преобразует линеал в подпространство преобразует в т. е. при замене А на меняются местами, и, следовательно, если А есть указанный выше оператор с индексами дефекта (0,1), то имеет индексы дефекта (1,0).

Пусть — унитарный оператор, переводящий орты (137) в орты Применение предыдущего приема к ортам дает нам изометрический оператор и элементарный симметричный оператор А, причем, очевидно, получается из D(А) при помощи оператора Можно доказать, что если А — любой замкнутый симметричный оператор с индексами дефекта , где и конечно, то Н можно представить в виде ортогональной суммы подпространств: приводящих оператор А и таких, что каждое при бесконечномерно, а оператор А, индуцированный А в есть элементарный симметричный оператор; подпространство которое может и отсутствовать, может быть как бесконечномерным, так и конечномерным, и индуцированный в нем оператор есть самосопряженный оператор. Аналогичный результат имеет место и при

В случае индексов дефекта при операторы обратны по знаку элементарным симметричным операторам.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление