Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

213. Примеры.

1. В [188] мы рассмотрели в пространстве оператор А, который определен на всех гладких финитных в D функциях и является на этих функциях оператором дифференцирования

Мы показали, что А — симметричный оператор, имеющий ограниченный обратный на R(А). Отсюда следует [209], что А допускает такое самосопряженное расширение А, что уравнение

однозначно разрешимо при любом Область определения А дополняется при этом расширении функциями из для которых . Функции эти имеют обобщенные производные и определяются из уравнения

Из них мы берем для , которые ортогональны решениям уравнения Оператор А на имеет вид где есть обобщенная производная (176).

2. Рассмотрим оператор

в пространстве , определенный на всех гладких финитных вблизи функциях. есть множество всех функций со следующими свойствами: абсолютно непрерывны на любом конечном промежутке Как мы указали, при

этом и Для имеем состоит из всех тех элементов которые удовлетворяют условиям

Нетрудно проверить, что имеют место следующие утверждения: а) А — положительный оператор; b) индексы дефекта А равны (1,1); с) непрерывная часть ядра спектра совпадает с полуосью и это же справедливо для любого самосопряженного расширения A; d) любое симметричное расширение А есть самосопряженное расширение. Оно определяется на тех элементах которые удовлетворяют одному из двух условий где h — фиксированное вещественное число, или . Последнему условию соответствует расширение по Фридрихсу, и при этом оператор остается положительным и имеет чисто непрерывный спектр, состоящий из полуоси . Если , то самосопряженный оператор, отвечающий условию имеет чисто непрерывный спектр. При он имеет одно простое собственное значение .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление