Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

23. Интеграл Стилтьеса на плоскости.

Нетрудно обобщить понятие интеграла Стилтьеса на случай плоскости. При этом мы встретимся, очевидно, с подразделениями двумерного промежутка на части. Если А — некоторый промежуток плоскости, определяемый промежутками и на осях, то мы назогм подразделением А такое разбиение А на частичные промежутки, которое получается при помощи разбиений на частичные промежутки. Каждый частичный промежуток определяется частичным промежутком из А и частичным промежутком из . На черт. 1 указано разбиение полуоткрытого промежутка на шесть частичных промежутков, произведенное указанным образом.

Черт. 1

Черт. 2

На черт. 2 указано разбиение совершенно иного типа. В нем линии деления заканчиваются в середине промежутка А, и оно не может быть получено вышеуказанным путем подразделения промежутков . Но легко перейти от подразделения второго типа к подразделению первого типа, продолжив все линии деления, и мы в дальнейшем будем пользоваться только подразделениями первого типа, что не играет существенной роли. Подразделение называется продолжением подразделения , если подразделения , соответствующие , являются продолжениями подразделений и , соответствующих . Если и — два подразделения , а — соответствующие подразделения то произведением называется такое подразделение, которое определяется подразделениями промежутков А. и Подразделение является, очевидно, продолжением . Отметим также, что если А есть промежуток, принадлежащий А, то существуют такие подразделения А, в которых А является одним из частичных промежутков.

Нетрудно построить понятие, аналогичное понятию интеграла Стилтьеса, на случай плоскости, трехмерного пространства или

вообще -мерного пространства. Ограничимся случаем плоскости. В остальных случаях построения будут совершенно аналогичными.

Пусть на плоскости дан какой-то конечный промежуток и в нем определена равномерно непрерывная и тем самым ограниченная функция точки и неотрицательная, аддитивная и нормальная функция промежутков . Пусть — некоторое разбиение на промежутки попарно без общих точек. Берем в каждом некоторую точку и составляем сумму

Как и в , можно показать, что эта сумма имеет определенный предел, когда наибольший из диаметров областей стремится к нулю. Этот предел и называется интегралом от по

Если непрерывна в замкнутом промежутке обладает указанным выше свойством, то интеграл Стилтьеса можно определить как предел сумм

где

при беспредельном измельчании промежутков.

Как и в [4], можно показать, что интеграл Стилтьеса существует при предположении, что непрерывна внутри и ограничена, если G (А) удовлетворяет дополнительному условию, которое мы сейчас укажем.

Пусть А — замкнутые промежутки, лежащие внутри которые расширяются и стремятся к так, что любая внутренняя точка попадет в при достаточно больших . Мы требуем, чтобы Это аналогично непрерывности на концах промежутка, которую мы оговаривали в [4].

Интеграл Стилтьеса может быть определен и для всей плоскости которую обозначим через Q. Пусть -неотрицательная, аддитивная и нормальная функция, определенная для всех промежутков как конечных, так и бесконечных, принадлежащих Q. Пусть — последовательность промежутков,

беспредельно расширяющихся по всем направлениям, например, пусть . Из нормальности следует, что при . Если непрерывна и ограничена в Q, то существует интеграл Стилтьеса (117). При этом последовательность подразделений должна быть такой, чтобы при любом фиксированном наибольший диаметр промежутков, имеющих общие точки с стремился к нулю.

Областью интегрирования может быть и не промежуток , а некоторая область которая представляет собой сумму конечного числа промежутков. Мы можем совершать сколь угодно тонкие разбиения на частичные промежутки, составлять суммы (116) и переходить к пределу. Интеграл по 5 сводится к конечной сумме интегралов по промежуткам, на которые можно разбить S, и он, очевидно, не зависит от способа разбиения на промежутки.

Свойства двукратного интеграла Стилтьеса совершенно аналогичны указанным нами раньше свойствам простого интеграла.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление