Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

25. Пространство непрерывных функций многих переменных.

Положим, что на некотором конечном замкнутом промежутке задана непрерывная функция При помощи линейного преобразования мы можем свести к промежутку и непрерывная функция останется непрерывной и после преобразования. Будем считать, что уже первоначальный промежуток был промежутком Построим для полиномы С. Н. Бернштейна [II; 154]:

Пользуясь равномерной непрерывностью можно, как и в показать, что при беспредельном возрастании тип равномерно на Положим теперь, что имеется функция непрерывная на ограниченном замкнутом множестве Используя, как и выше, линейное преобразование, можем считать, что F принадлежит указанному выше промежутку Далее мы можем распространить на весь промежуток с сохранением непрерывности и наибольшего значения Для таким образом распространенной мы можем построить последовательность полиномов так, что равномерно на и тем более равномерно на

Рассмотрим теперь аналогично тому, как это мы делали в [14], пространство С функций непрерывных в со следующим определением нормы: на Как и в [15], можно показать, что общая форма линейных функционалов в С есть интеграл Стилтьеса:

где — функция ограниченной вариации на характеризующая функционал

При определении функции ограниченной вариации можем пользоваться суммами (128), а интеграл (130) определять как предел сумм (118) при беспредельном измельчании промежутков. Сведения о пространстве непрерывных функций на ограниченных замкнутых множествах можно найти в статье Радона «О линейных функциональных преобразованиях и функциональных уравнениях» («Успехи математических наук», вып. 1, 1936 г.) и в книге Ф. Риcса и Б. Секефольви-Надя «Лекции по функциональному анализу».

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление