Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

34. Внешняя мера и ее свойства.

Пользуясь функцией мы поставим сейчас любому точечному множеству плоскости некоторое неотрицательное число, которое назовем внешней мерой этого множества.

Определение. Пусть промежутки число которых конечно или счетно, совершают покрытие множества g. Внешней мерой g назовем точную нижнюю грань значений сумм:

при всевозможных покрытиях множества g промежутками. Будем обозначать внешнюю меру символом причем значок внизу указывает на ту функцию , которая послужила основой при определении внешней меры. Таким образом, для любого покрытия можем написать

Если для любого покрытия суммы (30) равны то и внешнюю меру надо считать равной . У ограниченного множества внешняя мера всегда конечная, ибо такое множество может быть покрыто одним промежутком и по условию конечно. Отметим, что неограниченное множество g нельзя покрыть конечным числом

промежутков, ибо каждый промежуток мы согласились брать конечным. Но все же внешняя мера неограниченного множества может оказаться и конечным числом. Докажем теперь ряд теорем относительно внешней меры.

Теорема . Если , то .

Всякое покрытие есть тем самым и покрытие а потому нижняя грань сумм (30) для может оказаться меньше чем для но во всяком случае не может быть больше, чем для что и требовалось доказать.

Теорема 2. Для всякой элементарной фигуры R внешняя мера равна

Если R разбить каким-нибудь образом на частичные промежутки , то эти последние покрывают R и тем самым, в силу (25) и определения внешней меры, как нижней границы сумм (30), при всевозможных покрытиях R, мы имеем Докажем теперь противоположное неравенство. Если промежутки совершают покрытие R, то, в силу леммы предыдущего параграфа, мы имеем откуда и следует непосредственно, что

Доказанные два неравенства и приводят нас к равенству

Теорема 3. Для конечного или счетного числа слагаемых внешняя мера суммы множеств суммы внешних мер слагаемых множеств, т. е.

В дальнейшем мы будем часто обозначать покрытие некоторого множества одной буквой S. При этом сумму (30) для такого покрытия будем обозначать символом . Пусть задано положительное е. В силу определения точной нижней границы существует такое покрытие множества что Берем промежутки, входящие во все Они совершают некоторое покрытие S для и для этого покрытия имеем очевидно

В силу определения точной нижней границы

и, ввиду произвольности , мы и получаем неравенство (32). Отметим, что сумма, стоящая в правой части (32), или даже отдельные

слагаемые этой суммы могут быть равны . Ввиду неотрицательности слагаемых порядок слагаемых не играет роли. Определив внешнюю меру, мы распространили функцию на всевозможные точечные множества плоскости, но при этом потеряли, вообще говоря, свойство аддитивности этой функции. Действительно, можно показать, что если множества попарно без общих точек, то все же в формуле (32) мы можем в некоторых случаях иметь знак . В дальнейшем выделим некоторый класс множеств, для которых внешняя мера сохранит свойство аддитивности. Предварительно докажем еще одну теорему, касающуюся внешней меры.

Теорема 4. Всякое множество g можно покрыть таким открытым множеством О, внешняя мера которого сколь угодно мало отличается от внешней меры g, т. е. если g — любое множество и в — любое заданное положительное число, то существует такое открытое множество О, что

Если то неравенство в выполняется при любом покрытии множества g открытым множеством. Будем в дальнейшем считать, что конечно. Пусть — заданное положительное число. Выбираем покрытие g промежутками так, чтобы имело место неравенство

Каждый из промежутков подвергаем - расширению, и положительные числа выбираем так, чтобы

Если исключим из границу, т. е. две стороны и одну вершину, то сумма полученных открытых промежутков даст некоторое открытое множество О, которое, очевидно, покрывается промежутками . В силу определения точной нижней границы имеем

Пользуясь (34), можем далее написать

и, наконец, принимая во внимание (33), получаем окончательно

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление