Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Интеграл Лебега

48. Интеграл от ограниченной функции.

Мы дадим сейчас обычное определение интеграла от ограниченной функции, пользуясь разбиениями на всевозможные измеримые множества, и докажем, что всякая измеримая ограниченная функция интегрируема. Пусть на измеримом множестве g конечной меры задана ограниченная функция точки т. е. на g имеем , где L — некоторое положительное число. Разбиваем g на конечное число измеримых подмножеств не имеющих попарно общих точек:

Пусть точная нижняя и точная верхняя границы значений на . Составляем обычные суммы:

где обозначает подразделение (1) множества g. Суммы ограничены для любых подразделений, а именно Пусть далее i — точная верхняя граница сумм точная нижняя граница сумм для всевозможных подразделений g на конечное число измеримых множеств.

Определение. Если , то мы говорим, что интегрируема по на множестве g, и величину интеграла считаем равной :

Определенный так интеграл назовем интегралом Лебега — Стилтьеса., Если 8 есть подразделение (1) и — какое-либо другое подразделение

то произведением подразделений называется подразделение, состоящее из всевозможных частичных множеств Эти множества не имеют, очевидно, попарно общих точек. Некоторые из них могут быть и пустыми. Подразделение (3) называется продолжением подразделения (1), если каждое множество является частью одного из g. Если 82 есть продолжение то пишут

Кроме сумм (2) мы составим, как и для интеграла Стилтьеса, сумму

где некоторая точка из g. Для величин справедливо все сказанное в [3].

Мы укажем сейчас такую последовательность подразделений для любой ограниченной измеримой на g функции что и тем самым имеет определенный предел. Из этого следует, что существует интеграл i от по и что стремятся к i для упомянутой последовательности подразделений [3].

Итак, пусть имеется ограниченная функция определенная и измеримая на g, и пусть и М — точная нижняя и точная верхняя границы значений на g. Разбиваем промежуток изменения функции на части промежуточными точками :

и пусть наибольшая из разностей . Определяем следующее разбиение 8 множества g на частичные измеримые множества

Из этого определения множеств непосредственно вытекает, что и, таким образом,

и тем более

Рассмотрим разность между крайними суммами:

Принимая во внимание, что и аддитивность получим

и, таким образом, при написанная разность стремится к нулю. Отсюда, в силу (7) и (8), непосредственно следует, что Подразделение (6) основного множества g на частичные множества g назовем подразделением Лебега. Оно определяется подразделением (5) промежутка изменения функции Соответствующие подразделению (6) суммы, входящие в неравенства (7) и (8), назовем суммами Лебега. Из сказанного выше вытекает следующая основная теорема.

Основная теорема. Ограниченная измеримая функция заданная на измеримом множестве g конечной меры, интегрируема на g, и величина интеграла равна пределу сумм Лебега или сумм при любом выборе точек для подразделений Лебега при беспредельном измельчании подразделений промежутка изменения функции на части.

Отметим, что, как известно, суммы будут иметь тот же предел и для любых продолжений тех подразделений, о которых говорится в основной теореме. Поскольку интеграл определяется обычным образом, как предел сумм он сохраняет и обычные свойства интеграла Римана и классического интеграла Стилтьеса. К доказательству этих свойств мы и перейдем в следующем параграфе.

Построенный интеграл мы назвали интегралом Лебега — Стилтьеса. Просто интегралом Лебега назовем построенный выше интеграл в том частном случае, когда есть площадь промежутка .

Мы видели, что всякая ограниченная функция с конечным числом точек разрыва непрерывности измерима. Пусть имеется такая функция на конечном замкнутом промежутке А. Мы знаем, что такая функция интегрируема в смысле Римана по промежутку А. Она, как ограниченная измеримая функция, интегрируема и по Лебегу. Покажем, что интеграл Лебега совпадает с интегралом Римана. Действительно, чтобы получить интеграл Лебега, достаточно взять какую-либо последовательность подразделений промежутка А на измеримые множества, для которой сумма (4) имеет определенный предел, который и дает величину интеграла Лебега. Но раз функция интегрируема по Риману, то уже подразделения А на промежутки при беспредельном измельчании частичных промежутков приводит к определенному пределу для сумм (4), и этот предел есть интеграл Римана. Из этих рассуждений и следует совпадение интегралов Лебега и Римана.

Как показал Лебег, для существования интеграла Римана по промежутку А необходимо и достаточно следующее: ограничена и множество ее точек разрыва имеет лебегову меру, равную нулю . Такая функция, как мы указывали выше, измерима и по Лебегу. Совпадение интегралов Лебега и Римана может быть доказано совершенно так же, как и выше. Таким образом, всякая функция, интегрируемая на конечном замкнутом промежутке по Риману (в собственном смысле), интегрируема и но Лебегу, причем интегралы Лебега и Римана совпадают.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление