Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Интеграл Стилтьеса от непрерывной функции.

Теорема 1. Если непрерывна на конечном промежутке неубывающая ограниченная функция, то интеграл Стилтьеса от по на промежутке существует.

Принимая во внимание неравенства (13) и (15), можем написать

Пусть — заданное положительное число. В силу равномерной непрерывности на промежутке существует такое положительное число что , если наибольшая из разностей не превышает При этом неравенство (19) дает нам и, следовательно, при беспредельном измельчании промежутков. Совершенно

так же можно показать, что , и, следовательно, . Это равенство непосредственно вытекает также и из следствия теоремы 4 предыдущего параграфа в силу того, что имеет определенный предел при беспредельном измельчании промежутков.

Бесконечность промежутка интегрирования не играет существенной роли в случае интеграла Стилтьеса. Надо только выяснить, что мы понимаем под беспредельным измельчанием частичных промежутков при разбиении бесконечного промежутка на части. Рассмотрим, например, промежуток . Мы будем говорить, что для последовательности разбиений этого промежутка на конечное число частичных промежутков эти последние беспредельно измельчаются, если при любом заданном положительном А наибольшая из разностей для тех промежутков которые имеют общие точки с , стремится к нулю. Если непрерывна в промежутке и строго возрастает, т. е. при то замена переменной преобразует промежуток в конечный промежуток причем Разбиения с беспредельным измельчанием частичных промежутков для сводятся к обычным разбиениям с беспредельным измельчанием частичных промежутков для конечного промежутка

Если, например, непрерывна в замкнутом промежутке ограничена и не убывает, то интеграл по-прежнему существует. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно, например, ввести вместо новую переменную Полагая

мы выразим интеграл по бесконечному промежутку через интеграл по конечному промежутку

причем непрерывна и ограничена и не убывает в промежутке

Укажем один практически важный случай видоизменения основной теоремы существования интеграла Стилтьеса:

Теорема 2. Если непрерывна внутри промежутка интегрирования и ограничена, а неубывающая функция непрерывна на концах промежутка, то интегрируема по

Положим, что промежутком интегрирования является бесконечный промежуток

Оценим слагаемые, стоящие в правой части формулы (19). В силу ограниченности мы имеем , где L — определенное положительное число, и, следовательно, . Те слагаемые суммы (19), которые соответствуют промежуткам не имеющим общих точек , дадут сумму, не большую, чем

В силу предположенной непрерывности в точках можно выбрать А настолько большим, чтобы выражение (20) было меньше любого заданного положительного в. Фиксируем таким образом А и рассмотрим остальные слагаемые суммы (19). Соответствующие им промежутки или целиком укладываются в , или крайние два из них могут выходить из , причем длина выходящих частей не больше где наибольшая из разностей для промежутков, имеющих общие точки с . При беспредельном измельчании частичных промежутков это число стремится к нулю, и, начиная с некоторого этапа подразделения, оно будет во всяком случае меньше единицы. Таким образом, все промежутки которые мы сейчас рассматриваем, начиная с некоторого этапа подразделения, будут принадлежать промежутку на котором функция равномерно непрерывна. В силу этого для всех достаточно малых значений будем иметь в, и при этом для тех слагаемых суммы (19), которые соответствуют промежуткам имеющим общие точки с , мы будем иметь оценку

и сумма этих слагаемых будет не больше, чем

Окончательно неравенство (19) даст нам

откуда, ввиду произвольности , и следует, что и теорема доказана.

Отметим некоторые дополнительные свойства интеграла Стилтьеса для случая непрерывной функции и возрастающей функции Если то имеем оценку

которая получается из очевидной оценки суммы при переходе к пределу. Имеет, очевидно, место теорема о среднем [ср. I; 92]:

Положим теперь, что последовательность непрерывных в функций стремится равномерно в этом промежутке к предельной функции Последняя функция будет также непрерывной в и, следовательно, интегрируемой по . Для любого заданного положительного в существует, в силу равномерной сходимости последовательности такое что в для принадлежащих если Пользуясь оценкой (21), получаем

откуда, в силу произвольности в, следует

Пользуясь такими же оценками, что и при доказательстве теоремы 2, можно легко доказать, что формула (22) остается справедливой при следующих предположениях: функции непрерывны внутри и ограничены одним и тем же числом, т. е. где положительное число L одно и то же для всех равномерно во всяком замкнутом промежутке, лежащем внутри непрерывна на концах промежутка

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление