Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

54. Предельный переход под знаком интеграла.

Мы докажем некоторые теоремы, касающиеся предельного перехода под знаком интеграла для суммируемых функций.

Теорема 1. Если последовательность функций, суммируемых на множестве конечной меры, причем для всех этих функций имеет место оценка

где F(Р) суммируема на , и почти везде на , то суммируема на , и

Из условий теоремы следует, что предельная функция почти везде на удовлетворяет неравенству

Переходя к эквивалентной функции, можем считать, что это неравенство выполнено везде на . В силу свойства 10 из суммируемы на и потому почти везде на имеют конечные значения. Рассмотрим интеграл от разности и применим к нему свойство 10 из [51]:

Пусть — заданное положительное число, и те множества, принадлежащие , о которых говорилось в теореме 6 из [44]. Мы имеем, в силу этой теоремы,

Кроме того, в любой точке Р из имеем

Интеграл, стоящий в правой части (58), разобьем на два:

Отсюда, в силу (59) и (60), следует

или тем более:

Из и абсолютной непрерывности интеграла от F(Р) следует, что существует такое N, что

и, в силу (61),

Сравнивая с (58), получаем

откуда, в силу произвольности , и следует (57). Как и при доказательстве свойства 15 из [49], достаточно предположить, что неравенство (56) удовлетворяется лишь почти везде на

Замечание. Нетрудно видеть, что при доказательстве теоремы мы использовали лишь сходимость по мере, и тем самым при формулировке теоремы сходимость почти везде можно заменить сходимостью по мере.

Теорема 2. Если неубывающая последовательность функций, суммируемых на множестве конечной меры, то у предельной функции интеграл по равен конечной величине или и имеет место формула (57).

Суммируемые функции почти везде на конечны, и неубывающая последовательность в каждой точке имеет предел, который может равняться и Рассмотрим неубывающую

последовательность неотрицательных функций Мы имеем, очевидно,

Если неотрицательная функция суммируема по g, то и суммируема. Разность может играть роль функции F(Р) теоремы 1 и, применяя эту теорему получим

Добавляя к обеим частям интеграл от , получаем (57). Положим теперь, что интеграл от равен ). При этом [поскольку суммируема] интеграл от также равен . Отметим далее, что если некоторая последовательность почти везде стремится к то для любого почти везде.

Чтобы доказать это, достаточно отметить, что если в некоторой точке то в этой точке . В этом легко убедиться, разбирая отдельно случаи Таким образом, неубывающая последовательность неотрицательных функций почти везде стремится к Предельная функция ограничена и тем более суммируема. В силу доказанного выше

Пусть К — любое заданное положительное число. Ввиду того, что интеграл от равен , можно фиксировать такое чтобы интеграл, стоящий в правой части (62), был больше К. Таким образом, имеем, в силу (62), для всех достаточно больших :

и тем более

Ввиду произвольности К, отсюда следует, что

т. е.

и формула (57) доказана и в том случае, когда интеграл от равен .

Замечание. Аналогичная теорема справедлива и для убывающей последовательности суммируемых функций. Только предельная функция может иметь интеграл, равный а не . Если убывающая последовательность, то, полагая получаем возрастающую последовательность, и знак минус выносится за знак интеграла.

Выясним одно важное для дальнейшего следствие из доказанной теоремы.

Теорема 3. Если функции неотрицательны и суммируемы на , и ряд с неотрицательными членами

сходится, то почти везде на сходится ряд

и почти везде на .

Рассмотрим неубывающую последовательность неотрицательных и суммируемых на функций

и применим к этой последовательности доказанную выше теорему. В силу сходимости ряда (63), интегралы от при беспредельном возрастании имеют конечный предел. Следовательно, предельная функция, в данном случае выражаемая рядом (64)

суммируема по , а потому почти везде на имеет конечные значения, т. е. ряд (64) действительно сходится почти везде на . Но члены сходящегося ряда стремятся к нулю при удалении от начала, т. е. почти везде на , и теорема полностью доказана.

Теорема 4. Если есть последовательность неотрицательных и суммируемых на функций, стремящаяся почти везде к предельной функции и интегралы от при любом не превышают некоторого числа А, т. е.

то суммируема на , и имеет место неравенство

Мы имеем неравенство

и, в силу свойства 15 из [49], причем роль L играет число N, можем написать

Переходя в неравенстве (66) к пределу при получим

откуда следует, что суммируема, а при получаем (65).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление