Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

61. Примеры замкнутых систем.

Приведем некоторые простые примеры ортогональных нормированных систем, замкнутых на конечном промежутке . Если мы применим процесс ортогонализации к целым неотрицательным степеням то получим систему ортогональных полиномов на промежутке причем имеет степень k. Всякий полином степени может быть представлен в виде линейной комбинации

Чтобы убедиться в этом, достаточно определить так, чтобы в правой части коэффициент при был таким же, что и . Затем надо определить так, чтобы коэффициент при у члена был таким же, что и и т. д. Коэффициенты в формуле (114) равны, очевидно, коэффициентам Фурье относительно Из точного равенства (114) следует, что в случае ортогональной системы уравнение замкнутости справедливо для любого полинома , а отсюда следует, в силу теоремы 2 предыдущего параграфа, что система ортогональных полиномов замкнута. Выше мы видели, что на промежутке для ортогональной системы

уравнение замкнутости выполнено для любой непрерывной функции III; 148], откуда следует, что система (115) замкнута в . Точно так же на промежутке замкнутыми будут ортогональные системы функций

Раньше мы видели [IV; 99], что в случае собственных функций предельной задачи всякая функция с непрерывными производными до второго порядка и удовлетворяющая предельным условиям разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье

по функциям Тем более для таких функций будет иметь место уравнение замкнутости. Изменяя значения функции на узеньких промежутках вблизи концов интервала, мы убедимся без труда в том, что уравнения замкнутости соблюдаются для всех функций с непрерывными производными до второго порядка, без требования удовлетворения предельных условий на концах. Тем более уравнение замкнутости удовлетворяется для всех по линомов, а потому система собственных функций замкнута.

Черт. 3

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление