Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

62. Неравенства Гёльдера и Минковского.

Наряду с классом рассматривают часто класс измеримых функций у которых степень абсолютного значения (или модуля для комплексных функций), т. е. суммируема на Выведем сначала для сумм и интегралов неравенства, аналогичные неравенствам (67) и (69), для любого показателя , большего единицы.

Пусть а — некоторое положительное число. На плоскости XY рассмотрим кривую и проведем прямые параллельные осям (черт. 3). Эти прямые, координатные оси и упомянутая кривая ограничивают две плоские области, имеющие следующие площади:

Сумма этих площадей, как это непосредственно видно из чертежа, не меньше площади прямоугольника со сторонами а и b, т. е.

Обозначая можем переписать неравенство в виде

причем числа связаны, очевидно, соотношением

Ввиду произвольности положительного числа а, неравенство (116) справедливо для любых положительных связанных соотношением (117). Оба эти числа должны быть, очевидно, больше единицы. Если , то и неравенство (116) приводит к очевидному неравенству: Из черт. 3 следует, что знак формуле (116) имеет место в том и только в том случае, когда точка пересечения прямых лежит на кривой т. е. при . Положим далее, что положительные числа удовлетворяют соотношениям

Подставим в Суммируя по k и принимая во внимание (117) и (118), получим

Рассмотрим теперь любые положительные числа и обозначим

Числа удовлетворяют, очевидно, соотношениям (118), и мы имеем, следовательно, для них неравенство (119), которое в данном случае может быть записано в виде

т. е.

Переходя к пределу, получим аналогичное неравенство и для бесконечных сумм

причем считаем, что ряды, стоящие справа, сходятся. При этом и ряд, стоящий слева, в силу написанного неравенства, будет сходящимся. Некоторые из чисел могут равняться и нулю. Для комплексных чисел мы, пользуясь очевидным неравенством

можем написать предыдущие неравенства в виде

Выведенные неравенства называются обычно неравенствами Гёльдера для сумм. При они превращаются в обычное неравенство (106) из [59]. Совершенно аналогичные неравенства имеют место и для интегралов. Положим, что . В силу (116) имеем

Правая часть суммируема по условию, а потому и произведение есть суммируемая функция, т. е. если то произведение есть суммируемая функция (ср. теорему 1 из [55]). Для интеграла от этого произведения имеет место неравенство Гёльдера, аналогичное неравенству (67) из [55]

которые мы пишем лишь для интегралов Лебега (оно верно и для интегралов Лебега—Стилтьеса). Оно получается обычным образом из неравенства (122) при помощи предельного перехода. Пусть — беспредельно измельчающиеся последовательности подразделений Лебега для произведение этих подразделений. Пусть — составные части множества в подразделении точные верхние границы значений на Принимая во внимание (117), можем написать

Применим теперь к числам Неравенство Гёльдера

Обозначим через точную верхнюю границу значений произведения на Мы имеем, очевидно, неравенство и из (125) следует

Переходя к пределу для последовательности подразделений Лебега, получим

откуда и вытекает непосредственно (124).

Докажем еще неравенство, аналогичное неравенству (69) из [55]. Сначала рассмотрим случай сумм. Пусть, как и выше, последовательность положительных чисел. Суммируя очевидное равенство

получим

Применяя к суммам, стоящим справа, неравенство Гёльдера, придем к неравенству

Но, в силу , и последнее неравенство переписывается в виде

Деля обе части на множитель, стоящий перед квадратной скобкой, приходим к неравенству Минковского для сумм

Из этого неравенства совершенно так же, как и выше, следует интегральное неравенство Минковского при

если принять во внимание, что Неравенства (127) и (128) выведены нами в предположении . Они очевидны при но уже перестают быть справедливыми при

Пользуясь выведенными неравенствами, легко доказать для семейства функций свойства, которые мы раньше имели для

причем считаем функции комплексными. Перечислим эти свойства, следуя Если то и суммируемы на . Это следует из (124). Если и с — постоянная, то с . Это следует из (128). Говорят, что последовательность функций из сходится в среднем в или сходится в среднем с показателем к функции из если

Предел в среднем в единственен с точностью до эквивалентных функций. Если в среднем, то из последовательности можно выделить подпоследовательность которая сходится почти везде на к Сходимость в себе определяется условием, аналогичным (72),

при и сходимость последовательности в себе в является необходимым и достаточным условием того, что эта последовательность сходится в среднем к некоторой функции из то

Далее в может быть введена норма

и расстояние между двумя элементами причем имеет место равенство и правило треугольника. Докажем еще, что если то

По условию

Рассмотрим интеграл:

откуда и следует, что При доказательстве мы использовали тот факт, что мера множества, конечна.

Но в мы не имеем скалярного произведения, которое имели в .

Совершенно так же, аналогично мы можем ввести пространство элементы которого суть бесконечные последовательности комплексных чисел таких, что ряд, составленный из сходится. Он обладает при свойствами, аналогичными свойствам совершенно так же, как это выше имело место для по отношению к нет скалярного произведения и нет той связи с которая была нами установлена между Неравенства (106) и (107) заменяются неравенствами (122) и (127), в которых

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление