Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. Физическая интерпретация.

Дадим физическую интерпретацию функции и интеграла Стилтьеса. Положим, что на промежутке распределена материя, и пусть масса, находящаяся на промежутке масса, находящаяся в точке если такая сосредоточенная масса существует. В противном случае полагаем . Разность дает массу, содержащуюся на промежутке При стремлении положительного числа h к нулю промежуток сжимается, и любая точка выйдет из промежутка при достаточно малом так как левый конец не принадлежит этому промежутку. Функция является возрастающей функцией (масса — положительна), и, в силу сказанного выше, естественно подчинить функцию характеризующую распределение масс, условию или т. е. функция должна быть непрерывна справа во всех точках разрыва непрерывности, кроме Не имеет смысла говорить о непрерывности на правом конце промежутка, ибо при функция

не определена. Внутри промежутка сосредоточенные массы имеются в точках разрыва непрерывности и величина сосредоточенной массы определяется разностью . То же и для правого конца промежутка. Общее количество материи на промежутке равно . Все сказанное годится как для конечного, так и для бесконечного промежутка. Характерным в предыдущих рассуждениях был факт, что мы не пользовались понятием плотности распределения. Центр тяжести распределенной материи будет определяться формулой

Эта формула годится для конечного промежутка. В случае бесконечного промежутка интегрируемая функция перестает быть ограниченной, и надо использовать определение несобственного интеграла.

В теории вероятностей функция выражает обычно вероятность распределения некоторой случайной величины, а именно равно вероятности того, что случайная величина принадлежит промежутку При этом, как и выше, непрерывна справа. Понятие интеграла Стилтьеса от непрерывной функции непосредственно распространяется, как мы увидим, на тот случай, когда есть разность двух неубывающих функций: Легко дать физическую интерпретацию в этом случае. Положим, что на промежутке распределены положительные и отрицательные заряды. При этом определяет общий положительный заряд на промежутке общий отрицательный заряд на этом промежутке.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление