Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

86. Операторы и функционалы. Принцип сжатых отображений.

Пусть даны два метрических пространства X и Соответствие относящее элементам из X определенные элементы из называется оператором, действующим из X в X. Оператор может быть определен не во всем X. Множество элементов из X, на которых определен оператор А, называется областью определения А и будет обозначаться нами через Множество значений будем обозначать через Это — некоторое множество элементов . Если есть все , то уравнение

имеет при всяком из по крайней мере одно решение. Полежим, что А устанавливает биоднозначное соответствие между D и R, т. е. что при различных из получаются согласно (6) различные из . В этом случае уравнение (6) имеет при всяком из единственное решение из

Частным, но весьма важным случаем операторов являются функционалы. Так называются операторы в том случае, когда X есть пространство вещественных чисел при указанном в [85] определении расстояния . Иногда берут и пространство всех комплексных чисел при том же определении расстояния.

Приведем один признак однозначной разрешимости уравнения для того случая, когда X совпадает с X.

Теорема (принцип сжатых отображений). Если оператор А отображает полное метрическое пространство X в себя, и для любых и у из X:

где а — число, удовлетворяющее условию то уравнение имеет одно и только одно решение. Это решение может быть получено как предел последовательности

построенной при любом выборе исходного элемента .

В рассматриваемом случае . Мы имеем

Применяя эту же оценку к и т. д., получим откуда следует при

Принимая во внимание, что видим, что при . В силу полноты

последовательность имеет предел, который мы обозначим . Покажем, что

ибо . Переходя в равенстве к пределу, получим . Остается показать, что решение уравнения единственно. Пусть есть решение указанного уравнения: . Надо доказать, что . Имеем откуда и, следовательно, совпадает с Теорема доказана.

Замечание. Пусть U — некоторое замкнутое множество из X. Если есть и выполнено условие , то теорема имеет место, причем и всякое удовлетворяющее уравнению совпадает с . При этом считается, что ибо А определено в

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление