Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

87. Примеры.

Прежде чем переходить к примерам применения принципа сжатых отображений, приведем примеры полных метрических пространств.

1. Пространство всевозможных последовательностей вещественных чисел. Расстояние между элементами из определяется следующим образом:

Можно определить и комплексное пространство последовательностей комплексных чисел. В формуле для расстояния (9) надо заменить на . Это замечание относится и к дальнейшим примерам пространств последовательностей или функций.

2. Пространство бесконечных последовательностей чисел ограниченных в совокупности, т. е. для каждого элемента из существует такое положительное число что при всяком

Формула для

Сходимость в равносильна покоординатной сходимости, равномерной относительно номера составляющей.

3. Пространство s всех бесконечных последовательностей чисел, причем

Допустимость такого определения может быть проверена так же, как это мы сделаем ниже для аналогичного функционального пространства

В пространстве s, как и в сходимость равносильна покоординатной сходимости.

4. Пространство бесконечных последовательностей комплексных чисел таких, что

причем

Правило треугольника получается из неравенства Минковского для сумм при и очевидно при

Пространство С функций , где точка -мерного пространства непрерывных на некотором ограниченном замкнутом множестве g, причем

6. Пространство М функций определенных на некотором измеримом (по Лебегу) множестве g из Эквивалентные функции отождествляются, и всякая функция из М ограничена (или эквивалентна ограниченной).

Определение расстояния:

Смысл этого определения следующий: исключаем из какое-либо множество меры нуль, определяем точную верхнюю границу на оставшемся множестве выбираем указанное множество всеми возможными способами и определяем точную нижнюю границу полученного множества неотрицательных точных верхних границ Иногда вместо (15) пишут

Если g — ограниченное замкнутое множество, то С — часть М и для D то же, что и для М, т. е. С изометрично части М.

7. Пространство S всех функций измеримых на измеримом точечном множестве g конечной меры из причем

Здесь и в дальнейшем будем подразумевать меру и интеграл Лебега в соответствующем

8. Пространство функций измеримых на измеримом множестве и таких, что

причем

Имеют место указанные в аксиомах свойства [62].

9. Пространство функций ограниченной вариации на замкнутом промежутке а непрерывных справа во внутренних точках этого промежутка и равных нулю при причем

Если отбросить требование , то определяется следующим образом:

При этом пространство расширяется, и первоначальное пространство изометрично части расширенного.

Все указанные выше пространства полные.

Для полнота была доказана. В других случаях доказательство полноты не представляет труда, и мы его не будем приводить.

Остановимся подробнее на пространстве S. Принимая во внимание, что возрастает при , мы можем написать

и отсюда следует аксиома треугольника для S. Покажем теперь, что сходимость в S равносильна сходимости по мере.

Пусть по мере на . Докажем, что . Введем множества По условию и любом фиксированном Мы имеем

откуда, принимая внимание возрастание функции и тот факт, что на множенве получим

Пусть задано положительное число . Можно фиксировать так, чтобы иметь Далее существует такое N, что и, следовательно, при Положим теперь, что и докажем, что по мере на . Мы имеем, в силу сказанного выше относительно что если

Таким образом,

где считаем фиксированным. По условию и из последнего неравенства следует, что что и требовалось доказать.

Пользуясь теоремой из [44] и доказанным выше, можем утверждать, что если в S, то существует такая подпоследовательность что почти везде на . Полнота S может быть доказана совершенно так же, как и для

При построении функциональных пространств мы могли бы применять меру и интеграл Лебега-Стилтьеса.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление