Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

89. Компактность.

Мы вводили раньше понятие компактности для одного частного случая [IV; 36]. Сейчас мы рассмотрим это понятие для общего метрического пространства X. Множество U элементов X называется компактным в пространстве X или просто компактным, если любая последовательность элементов из U содержит сходящуюся подпоследовательность. Если, кроме того, U замкнуто, то оно называется компактным в себе.

Нетрудно видеть, что ограниченность множества U есть необходимое условие его компактности. Действительно, если U неограничено, то существует такая последовательность из U, что , где а — какой-либо фиксированный элемент. Из этой последовательности нельзя выделить сходящейся подпоследовательности, ибо всякая сходящаяся последовательность ограничена. Ограниченность U является и достаточным условием компактности в . В общем случае метрического пространства это не имеет места, и мы установим сейчас необходимое и достаточное условие компактности.

Введем сначала одно новое понятие. Будем говорить, что множество U имеет конечную s сеть, где — заданное положительное

число, если существует конечное множество элементов X таких, что для любого из U найдется такой элемент из указанных элементов, что . Отметим, что элементы могут и не принадлежать

Теорема. Для того чтобы множество U элементов полного метрического пространства было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело при любом конечную -сеть.

Необходимость. Предположим, что при некотором для U не конечной сети, и покажем, что U не компактно. Возьмем некоторый элемент . Можно утверждать, что найдется такой элемент что Действительно, в противном случае мы имели бы для всякого и один элемент давал бы сеть для U. Далее найдется такой элемент что ибо в противном случае элементы давали бы -сеть для U и т. д.

Таким образом, получим бесконечную последовательность элементов из U такую, что при всех Для любой подпоследовательности будем также иметь при следовательно, никакая подпоследовательность для не может быть сходящейся, т. е. U не компактно.

Достаточность. Предположим, что U имеет конечную в сеть при любом и пусть какая-либо последовательность элементов

Нам надо доказать, что из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Если при бесконечном числе значений элементы совпадают с одним и тем же элементом у, то подпоследовательность есть сходящаяся подпоследовательность. Положим, что указанное обстоятельство не имеет места. Тогда, оставляя в последовательности из группы равных элементов только один (например, элемент с наименьшим номером), мы получим последовательность различных элементов. Можно считать, что уже основная последовательность обладает этим свойством. Фиксируем какое-нибудь положительное число е. В силу существования для U конечной сети существует конечное число замкнутых сфер радиуса таких, что все элементы тем самым и все принадлежат этим сферам. По крайней мере одной из них принадлежит безчисленное множество

Обозначим одну из таких сфер Далее существует конечное число сфер радиуса которым принадлежат все из

Возьмем из них ту сферу которая содержит бесчисленное множество упомянутых элементов. Точно так же существует сфера радиуса А содержащая бесчисленное множество элементов

, принадлежащих одновременно Продолжая так и дальше, получим бесконечную последовательность замкнутых сфер таких, что радиус есть и содержит бесчисленное множество элементов принадлежащих одновременно всем сферам при . Из каждой из указанных сфер мы берем по одному элементу причем можем считать при Таким путем у нас получается бесконечная подпоследовательность последовательности Принимая во внимание, что для любых двух элементов х и у, принадлежащих одной и той же сфере радиуса , мы имеем, в силу аксиомы треугольника, можем утверждать, что

Отсюда, в силу полноты пространства, следует, что есть сходящаяся последовательность. Теорема доказана.

Замечание 1. Для компактности достаточно наличие не конечной, но лишь компактной -сети при любом Это значит, что при любом существуют такие сферы радиуса , содержащие все элементы центры которых образуют компактное множество. Обозначим это множество центров через Для по доказанной теореме (необходимость) существует конечная -сеть, и из аксиомы треугольника непосредственно следует, что эта сеть будет конечной сетью для U, откуда, в силу произвольности и доказанной теоремы (достаточность), и следует, что U — компактное множество.

Замечание 2. Отметим, что U может совпадать с X, так что можно говорить и о компактности всего пространства X. Пользуясь непрерывностью расстояния, легко доказать, что всякое компактное пространство есть полное пространство. Тем самым всякое компактное в себе множество U элементов X есть полное метрическое пространство.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление