Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.5.
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

90. Компактность в С.

Пусть С — пространство функций, непрерывных на конечном промежутке и U — некоторое множество элементов С. Мы видели, что ограниченность и равностепенная непрерывность функций, входящих в U, есть достаточные условия компактности Докажем, что эти условия и необходимы. Пусть U компактно. По доказанной теореме, при любом заданном существует конечное число функций из С таких, что для любой функции из U имеем при

где одна из указанных выше функций. Для всех этих функций, поскольку их конечное число, существует такое положительное что

причем зависит только от

Отсюда получаем

При все слагаемые правой части и, следовательно, при и равностепенная непрерывность функций, входящих в U, доказана. Их ограниченность непосредственно следует из того, что ограниченность U есть необходимое условие компактности [89]. Указанный критерий компактности совершенно так же доказывается для функций многих переменных, определенных на конечной замкнутой области из . Если функции определены на ограниченном замкнутом множестве, то доказательство в существенном то же.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление