Главная > Математика > Дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Колебательный контур.

Колебательным контуром называют электрическую цепь, которая состоит из конденсатора и катушки, присоединенной к обкладкам конденсатора.

Если конденсатор присоединить к батарее, то его пластины получат некоторый заряд и на его обкладках

возникнет разность потенциалов. После присоединения заряженного таким образом конденсатора к катушке он начнет разряжаться и в цепи появится электрический ток. Однако сила тока благодаря явлению самоиндукции будет увеличиваться постепенно и достигнет своего наибольшего значения, когда конденсатор полностью разрядится. При этом в силу самоиндукции ток исчезнет не сразу. Постепенное уменьшение силы тока вызовет перезарядку обкладки конденсатора. Когда ток исчезнет, обкладки конденсатора окажутся перезаряженными, система вернется в исходное положение и процесс пойдет в обратном Направлении. Возникнут электрические колебания.

Задача 1. Последовательно включены конденсатор емкости С, катушка с индуктивностью L. В начальный момент заряд конденсатора равен , а через катушку течет ток Найти закон изменения силы тока (сопротивлением пренебречь).

Решение. Обозначим через заряд конденсатора, через силу тока в момент времени . Так как то для решения задачи достаточно найти

Из электротехники известно, что если в замкнутую электрическую цепь включены источник тока с электродвижущей силой активно сопротивление R, катушка с индуктивностью L и конденсатор емкости С, то между ЭДС и напряжением на активном сопротивлении, катушке индуктивности и конденсаторе существует такая зависимость:

Здесь напряжение на активном сопротивлении, напряжение на конденсаторе и напряжение на катушке индуктивности, сила тока в момент времени измеренная в амперах.

В колебательном контуре нет активного сопротивления R и нет источника тока, поэтому в выражении . Так что имеем соотношение

Заметив, что

после соответствующей подстановки в соотношение

получим дифференциальное линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами с начально ными условиями . Корни характеристического уравнения имеют вид: . Общее решение уравнения

Используя начальные условия задачи, получим решение уравнения (Г), удовлетворяющее начальным уловиям:

Продифференцировав (2), найдем силу тока в цепи:

Из формулы (3) видно, что I меняется периодически, т. е. в цепи будут происходить электрические колебания с частотой периодом Замечаем, что частота и период колебаний не зависят от начальных условий, а определяются параметрами электрической цепи: индуктивностью катушки и емкостью конденсатора.

Мы рассмотрели задачи на колебания, решение которых привело нас к линейным уравнениям второго порядка. Уравнения этого вида возникают при рассмотрении многих других колебательных явлений: колебаний антенны, рессоры, качки корабля и т. д.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление