Главная > Разное > Принципы когерентной связи
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.4. Оптимальная фильтрация и демодуляция как задача нахождения оценки

Для дальнейшего обобщения задачи многомерной оценки параметров принимаемого сигнала рассмотрим сигнал

где — стационарный нормальный шум с нулевым средним и положительно определенной корреляционной функцией стационарный нормальный процесс с нулевым средним и положительно определенной корреляционной функцией . Предположим, что дифференцируема по при всех . Тремя главнейшими примерами являются:

где известные константы.

Формулы (5.39) и (5.40) соответствуют модуляции по амплитуде и по углу соответственно стационарным нормальным процессом. В каждом из этих случаев нужно найти оценку процесса Выражение (5.38) соответствует линейному случаю или отсутствию модуляции, когда вычисление оценки в общем случае называется фильтрацией или оптимальной фильтрацией, если оценка должна быть наилучшей согласно некоторому критерию. Если задана формулой (5.39) или (5.40), то оценка называется оптимальной демодуляцией, так как представляет процесс, модулирующий несущую сигнала.

Предположим, что, как и в § 5.1 и 5.3, берутся выборочные значения через интервалы , т. е.

где

Введем обозначения

Найдем оценку по критерию максимальной апостериорной плотности вероятности. Это эквивалентно отысканию оценки нескольких параметров (см. § 5.3), за исключением того, что в этом случае

и

Эти функции являются решениями К линейных уравнений

Тогда необходимые условия, которым должны удовлетворять оценки по критерию максимальной апостериорной плотности вероятности процесса

получаются из уравнений (5.31) и равны

поскольку

Так как — стационарный нормальный процесс с нулевым средним и корреляционной функцией ;

плотность вероятности процесса равна

где — определитель матрицы элемент обратной матрицы.

Тогда из (5.44) и (5.45) получим

откуда

Тогда при и (5.47) формально переходят в

В приложении В приводится вывод формул (5.48) и (5.49) при помощи представления в виде рядов Карунена-Лоева.

В случае, когда шум белый, и из (5.48) получаем

так что (5.49) принимает вид

В случае простой фильтрации [см. (5.38)] формула (5.50) принимает простой вид:

Заметим, что правая часть (5.51) представляет свертку функции времени и корреляционной функции , что соответствует пропусканию этой функции времени через фильтр (нереализуемый), импульсная переходная функция которого равна . Можно получить такие же простые выражения для случаев модуляции по амплитуде [см. (5.39)] и по фазе [см. (5.40)] при наличии белого нормального шума, если только пренебречь тригонометрическими слагаемыми, содержащими в аргументе , допуская, что столь велика, что фильтр с импульсной переходной функцией не может пропустить частот в области Тогда для амплитудной модуляции имеем

а для модуляции по углу

В большинстве практических применений сигнал наблюдается на протяжении столь большого промежутка времени, что можно устремить начальный момент к . Тогда выражения (5.48) и (5.49) принимают соответственно вид

Аналогичные выводы можно получить для произвольного значения . Системы с постоянными параметрами, которые будут выведены в следующем параграф, становятся изменяющимися со временем, когда конечно.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление