§ 7. СКОРОСТИ, ИНДУЦИРУЕМЫЕ ВИХРЕВОЙ НИТЬЮ

Пусть в жидкости, заполняющей все пространство, имеется замкнутая вихревая трубка с конечным объемом . Поле скоростей, индуцируемое такой вихревой трубкой, определяется формулой (6.20). В нашем случае вне области .

Так как мы предполагаем, что в жидкости нет источников, то всюду. Поэтому

Пусть — сечение трубки, l — средняя линия трубки, — единичный вектор касательной к средней линии. Полагая вихрь скорости постоянным в каждом сечении трубки, для элемента вихревой трубки длины можно записать . Тогда

Устремляя а к нулю (при этом ), но так, чтобы произведение оставалось постоянным, получаем вихревую нить с интенсивностью . По теореме Гельмгольца интенсивность Г постоянна вдоль l, поэтому, переходя к пределу, получаем

Проекции скорости v на координатные оси определяются по формулам

Вектор t не зависит от координат х, у, z. Выполняя дифференцирование под знаком интеграла и учитывая, что , где , получаем

В скобках под знаком интегралов в (7.4) стоят компоненты векторного произведения двух векторов t и .

Поэтому формулы (7.4) для скорости, индуцируемой в пространстве вихревой нитью, можно записать в виде

Очевидно, что элемент вихревой нити порождает в точке скорость :

с численным значением Здесь а — угол между векторами t и r (рис. 46).

Формулы (7.5) и (7.6) аналогичны формулам Био — Савара в электродинамике.

Рис. 46.

Рис. 47.