Ãëàâíàÿ > Ôèçèêà > Ëåêöèè ïî ãèäðîàýðîìåõàíèêå
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô
Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Ìàêåòû ñòðàíèö

§ 7. ÑÊÎÐÎÑÒÈ, ÈÍÄÓÖÈÐÓÅÌÛÅ ÂÈÕÐÅÂÎÉ ÍÈÒÜÞ

Ïóñòü â æèäêîñòè, çàïîëíÿþùåé âñå ïðîñòðàíñòâî, èìååòñÿ çàìêíóòàÿ âèõðåâàÿ òðóáêà ñ êîíå÷íûì îáúåìîì . Ïîëå ñêîðîñòåé, èíäóöèðóåìîå òàêîé âèõðåâîé òðóáêîé, îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (6.20).  íàøåì ñëó÷àå âíå îáëàñòè .

Òàê êàê ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî â æèäêîñòè íåò èñòî÷íèêîâ, òî âñþäó. Ïîýòîìó

Ïóñòü — ñå÷åíèå òðóáêè, l — ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðóáêè, — åäèíè÷íûé âåêòîð êàñàòåëüíîé ê ñðåäíåé ëèíèè. Ïîëàãàÿ âèõðü ñêîðîñòè ïîñòîÿííûì â êàæäîì ñå÷åíèè òðóáêè, äëÿ ýëåìåíòà âèõðåâîé òðóáêè äëèíû ìîæíî çàïèñàòü . Òîãäà

Óñòðåìëÿÿ à ê íóëþ (ïðè ýòîì ), íî òàê, ÷òîáû ïðîèçâåäåíèå îñòàâàëîñü ïîñòîÿííûì, ïîëó÷àåì âèõðåâóþ íèòü ñ èíòåíñèâíîñòüþ . Ïî òåîðåìå Ãåëüìãîëüöà èíòåíñèâíîñòü à ïîñòîÿííà âäîëü l, ïîýòîìó, ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó, ïîëó÷àåì

Ïðîåêöèè ñêîðîñòè v íà êîîðäèíàòíûå îñè îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì

Âåêòîð t íå çàâèñèò îò êîîðäèíàò õ, ó, z. Âûïîëíÿÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå ïîä çíàêîì èíòåãðàëà è ó÷èòûâàÿ, ÷òî , ãäå , ïîëó÷àåì

 ñêîáêàõ ïîä çíàêîì èíòåãðàëîâ â (7.4) ñòîÿò êîìïîíåíòû âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ âåêòîðîâ t è .

Ïîýòîìó ôîðìóëû (7.4) äëÿ ñêîðîñòè, èíäóöèðóåìîé â ïðîñòðàíñòâå âèõðåâîé íèòüþ, ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

Î÷åâèäíî, ÷òî ýëåìåíò âèõðåâîé íèòè ïîðîæäàåò â òî÷êå ñêîðîñòü :

ñ ÷èñëåííûì çíà÷åíèåì Çäåñü à — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè t è r (ðèñ. 46).

Ôîðìóëû (7.5) è (7.6) àíàëîãè÷íû ôîðìóëàì Áèî — Ñàâàðà â ýëåêòðîäèíàìèêå.

Ðèñ. 46.

Ðèñ. 47.

<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Îãëàâëåíèå