§ 5. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА В ФОРМЕ ГРОМЕКИ — ЛЭМБА

Выпишем уравнение Эйлера

Введем в рассмотрение оператор V и скалярное произведение

Применим оператор (5.2) к вектору скорости v:

и используем (5.3) при записи вектора ускорения в уравнении (5.1):

Легко проверить следующее тождество:

С учетом (5.5) уравнение Эйлера (5.4) запишется в виде

Уравнение (5.6) — уравнение Эйлера в форме Громеки — Лэмба. Запишем (5.6) в проекциях на оси, используя обозначение :

Здесь

Уравнения Громеки — Лэмба содержат в явном виде вектор вихря .

Существует важный класс движений, для которых . Такие движения называют безвихревыми. Для безвихревых движений уравнения (5.6) имеют значительно более простой вид, чем исходные уравнения Эйлера.