Главная > Физика > Лекции об уравнениях математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задачи

2-1. а) Написать граничное условие на левом конце струны, если к этому концу прикреплено колечко, которое может свободно скользить по вертикальному стержню. Массой колечка пренебречь (см. рис. 8).

б) то же, что и в 2-1 а), но колечко имеет массу ;

в) то же, что и в 2-1 б), но колечко скользит с трением.

2-2. а) Получить закон сохранения энергии струны, если на одном или на обоих концах выполнено граничное условие задачи 2-1а).

б) то же в задаче 2-1 б) (эдесь надо учесть энергию колечка);

в) то же в условиях задачи 2-1 в) (с учётом потерь на трение). 2-3. Вывести уравнение продольных упругих колебаний стержня. 2-4. Написать граничное условие на левом конце стержня, если этот конец свободен.

Рис. 8

Рис. 9

2-5. Написать граничное условие на левом конце стержня, если этот конец упруго закреплён (см. рис. 9).

2-6. Получить закон сохранения энергии для стержня, у которого

а) концы закреплены;

б) концы свободны;

в) один конец закреплён жестко, а другой упруго.

2-7. Вывести уравнение продольных колебаний конического стержня.

2-8. Доказать, что энергия участка струны, заключённого между точками с является невозрастающей функцией времени. Получить отсюда единственность решения задачи Коши и информацию об области зависимости для отрезка и о его области влияния.

2-9. Сформулировать и доказать закон сохранения энергии для бесконечной струны.

2-10. Нарисовать мультфильм, описывающий колебания бесконечной струны с начальными данными где при при

2-11. Описать колебания бесконечной струны, происходящие при и такие, что некоторый участок струны покоится в течение всего времени этих колебаний.

2-12. То же, что и в предыдущей задаче, но участок струны покоится при .

2-13. Нарисовать мультфильм, описывающий колебания полуограниченной струны со свободным концом (граничное условие их — см. задачу 2-1 а) и с начальными условиями график имеет форму равнобедренного треугольника с основанием

2-14. Нарисовать мультфильм, описывающий колебания полуограниченной струны с закрепленным концом и с начальными условиями где — характеристическая функция интервала (1, 31).

2-15. Получить закон сохранения энергии для полуограниченной струны с закрепленным концом.

2-16. Вдоль стержня, левый конец которого упруго закреплен, при бежит волна . Найти отражённую волну.

2-17. Вдоль бесконечной струны со скоростью движется источник гармонических колебаний частоты , т. е. .

Описать колебания струны справа и слева от источника. Найти частоты индуцированных колебаний фиксированной точки струны справа и слева от источника и дать физическую интерпретацию результата (эффект Допплера).

2-18. Описать и нарисовать стоячие волны в струне со свободными концами.

2-19. Доказать существование бесконечной серии стоячих волн в стержне, у которого один конец закреплен жестко, а другой упруго (см. задачу 2-5). Доказать ортогональность собственных функций. Найти коротковолновую асимптотику собственных значений.

2-20. На правый конец стержня при действует сила, меняющаяся по закону Написать формулу для решения и выяснить условия резонанса, если левый конец

а) закреплен;

б) свободен.

2-21. Правый конец стержня при колеблется по закону Написать формулу для решения и выяснить условия резонанса, если левый конец

а) закреплен;

б) свободен;

в) упруго закреплен.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление