Главная > Физика > Лекции об уравнениях математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Задача Штурма-Лиувилля

3.1. Постановка задачи

Рассмотрим уравнение

более общее, чем выведенное в § 2 уравнение колебаний неоднородной струны. Попробуем упростить уравнение заменой переменных , где — известная функция. Оказывается, при этом можно получить уравнение вида (3.1) с . В самом деле, имеем:

После подстановки в уравнение (3.1) и деления на получаем

Чтобы это уравнение имело вид (3.1) с нужно, чтобы было выполнено условие:

откуда

и можно взять, например,

Мы всегда предполагаем, что , так что эта подстановка возможна. Итак, рассмотрим уравнение

Решая его разделением переменных на отрезке мы приходим при условии, что концы закреплены, к следующей задаче на собственные значения:

Обобщением задачи на собственные значения (3.3)-(3.4) является такая же задача, в которой граничные условия (3.4) заменены более общими условиями:

где — вещественные числа, . Такая задача называется задачей Штурма - Лиувилля. При рассмотрении этой задачи обычно предполагают, что при («эллиптичность»). Мы будем для простоты считать, что и берутся граничные условия (3.4). Общий случай рассматривается аналогично. Итак рассмотрим задачу

с граничными условиями (3.4). Будем также считать, что

Это не является ограничением, поскольку мы можем добиться выполнения (3.7), добавляя к А фиксированную постоянную.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление