Главная > Физика > Лекции об уравнениях математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.6. Решения с изолированными особенностями. Теорема об устранимой особенности для гармонических функций

Рассмотрим гипоэллиптический оператор т. е. оператор имеющий фундаментальное решение которое при является обычной бесконечно дифференцируемой функцией. Само фундаментальное решение при удовлетворяет уравнению а при имеет какую-то особенность. Этим же свойством обладают производные Оказывается, что если особенность не выше степенной, то ничего другого по существу не бывает.

Теорема 5.14. Пусть где — область в , и пусть является решением уравнения где — гипоэллиптический оператор. Пусть, кроме того, при некоторых С и N в окрестности нуля выполнена оценка

Тогда можно в представить в виде

где — фундаментальное решение для , причём

Для доказательства нужна следующая

Лемма 5.15. Если функция удовлетворяет, условию (5.40) в окрестности точки 0, то существует такая обобщённая функция

Доказательство. Хотелось бы придать такой смысл интегралу чтобы на функциях он принимал естественное значение (для таких это обычный интеграл от финитной непрерывной функции). Для этого вычтем из функции её тейлоровский многочлен в точке 0 и заметим, что при

Пусть в окрестности точки 0. Положим

где интеграл уже определён, поскольку подынтегральная функция ограничена. Ясно, что если то поскольку тогда при любом а. Легко видеть также, что , что и доказывает лемму.

Доказательство теоремы 5.14. Ясно, что будет обобщённой функцией с носителем в точке 0, т. е.

Но тогда если положить

то мы имеем, очевидно, , откуда . Теорема доказана.

В частности, для оператора Лапласа при решение уравнения (гармоническая функция), заданная в и удовлетворяющая условию (5.40) имеет вид суммы однородных функций порядков и гармонической функции в .

При такое решение является суммой однородных функций порядков и гармонической функции в . В частности, отсюда вытекает следующая теорема об устранимой особенности для гармонических функций:

Теорема 5.16 (теорема об устранимой особенности). Пусть функция гармонична в и в окрестности точки 0 удовлетворяет условию:

Тогда гармонична в .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление