Научная библиотека
Клуб читателей
Вычисления в дробях
Информационный ассистент
sc_lib@list.ru

Поиск в библиотеке:
Научная библиотека
избранных естественно-научных изданий
научная-библиотека.рф
Логин:
Пароль:
Регистрация
или
<< Предыдущий параграфСледующий параграф >>

< Назад
Далее >

Для отображения сканов страниц необходимо включить JavaScript в настройках браузера.

< Назад
Далее >
<< Предыдущий параграфСледующий параграф >>

Макеты страниц

§ 6. Уравнение теплопроводности

6.1. Физический смысл уравнения теплопроводности

Уравнение теплопроводности имеет вид

где — оператор Лапласа по . Это уравнение является примером уравнения параболического типа. Этому уравнению подчиняется температура однородной и изотропной среды (в этом случае — температура среды в точке в момент времени t). Точно также этому уравнению удовлетворяет плотность диффундирующего вещества, например, плотность броуновских частиц в случае, когда частиц достаточно много, так что мы можем говорить об их плотности и об изменении этой плотности как о непрерывном процессе. Поэтому уравнение (6.1) часто называют также уравнением диффузии.

Вывод уравнения теплопроводности для температуры основан на следующих естественных физических гипотезах:

1. Количество тепла Q, необходимое для нагрева куска рассматриваемого вещества массы m от температуры до температуры пропорционально m и

(коэффициент с называется удельной теплоемкостью).

2. Количество тепла передающееся через площадку площади время пропорционально и скорости роста температуры и по направлению нормали п к этой площадке (закон Фурье):

где коэффициент называется коэффициентом теплопроводности и, как и удельная теплоёмкость, характеризует свойства среды; знак минус означает, что тепло передаётся по направлению, противоположному направлению роста температуры.

Следует иметь в виду, что обе гипотезы являются лишь приближениями, как и вытекающее из них уравнение (6.1).

Как мы увидим ниже, из уравнения (6.1) следует, например, что скорость распространения тепла бесконечна, что физически абсурдно. Однако в большинстве технических задач сделанные предположения и уравнение (6.1) в достаточной степени оправданы. Более точная модель теплопередачи должна была бы учитывать молекулярную структуру вещества, что приводит к задачам статистической физики, неизмеримо более сложным, чем решение модельного уравнения (6.1).

Отметим, впрочем, что независимо от физического смысла уравнение (6.1) и аналогичные уравнения играют важную роль в математике. Они используются, например, для изучения эллиптических уравнений.

Приведём вывод уравнения теплопроводности (при ). Используем закон сохранения энергии (в данном случае тепла) в некотором объёме . Будем считать, что П имеет гладкую границу . Скорость изменения тепловой энергии вещества в объёме П равна, очевидно,

где р — объёмная плотность вещества, — элемент объёма в . Считая , мы получим

Пусть теперь Р — скорость истечения тепла через границу . Ясно, что

где внешняя нормаль к — элемент площади . В правой части здесь написан поток вектора через границу . По формуле Гаусса-Остроградского имеем:

или при

Закон сохранения тепловой энергии при отсутствии источников тепла означает, что

Подставляя найденные выше выражения для и Р, получаем

что ввиду произвольности даёт уравнение (6.1), в котором

<< Предыдущий параграфСледующий параграф >>

Оглавление

Предисловие
§ 1. Линейные дифференциальные операторы
1.2. Полный и главный символы
1.3. Замена переменной
1.4. Приведение к каноническому виду операторов 2-го порядка с постоянными коэффициентами
1.5. Характеристики. Эллиптичность и гиперболичность
1.6. Характеристики и приведение к каноническому виду операторов и уравнении 2-го порядка при n = 2
1.7. Общее решение однородного гиперболического уравнения с постоянными коэффициентами при n = 2
§ 2. Одномерное волновое уравнение
2.1. Уравнение колебании струны
2.2. Неограниченная струна. Задача Каши. Формула Даламбера
2.3. Полуограниченная струна. Отражение волн от конца струны
2.4. Ограниченная струна. Стоячие волны. Метод Фурье (метод разделения переменных)
Задачи
§ 3. Задача Штурма-Лиувилля
3.2. Простейшие свойства собственных значении и собственных функций
3.3. Коротковолновая асимптотика
3.4. Функция Грина и полнота системы собственных функций
Задачи
§ 4. Обобщённые функции
4.1. Мотивировка определения. Пространства основных функций
4.2. Пространства обобщённых функции
4.3. Топология и сходимость в пространствах обобщённых функций
4.4. Носитель обобщённой функции
4.5. Дифференцирование обобщённых функции и их умножение на гладкую функцию
4.6. Общее понятие транспонированного оператора. Замена переменных. Однородные обобщённые функции
Задачи
§ 5. Свёртка и преобразование Фурье
5.1. Свёртка и прямое произведение обычных функций
5.2. Прямое произведение обобщённых функций
5.3. Свёртка обобщённых функций
5.4. Дальнейшие свойства свертки. Носитель и носитель сингулярности свёртки
5.5. Связь между свойствами гладкости фундаментального решения и решений однородного уравнения
5.6. Решения с изолированными особенностями. Теорема об устранимой особенности для гармонических функций
5.7. Преобразование Фурье обобщённых функций умеренного роста
5.8. Схема применения преобразования Фурье для нахождения фундаментальных решении
5.9. Теорема Лиувилля
Задачи
§ 6. Уравнение теплопроводности
6.1. Физический смысл уравнения теплопроводности
6.2. Простейшие краевые задачи для уравнения теплопроводности и уравнения Лапласа
6.3. Пример обоснования гармоничности предельной функции
6.4. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Интеграл Пуассона
6.5. Фундаментальное решение для оператора теплопроводности. Формула Дюамеля
6.6. Оценка производных решения гипоэллиптического уравнения
6.7. Принцип Хольмгрена. Единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности
6.8. Схема решения первой и второй краевых задач методом Фурье
Задачи
§ 7. Пространства Соболева. Обобщённое решение задачи Дирихле
7.2. Пространства
7.3. Интеграл Дирихле. Неравенство Фридрихса
7.4. Задача Дирихле (обобщённое решение)
Задачи
§ 8. Собственные значения и собственные функции оператора Лапласа
8.1. Симметрические и самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве
8.2. Расширение по Фридрихсу
8.3. Дискретность спектра оператора Лапласа в ограниченной области
8.4. Фундаментальное решение оператора Гельмгольца и аналитичность собственных функции оператора Лапласа во внутренних точках области. Уравнение Бесселя
8.5. Вариационные принципы. Поведение собственных значений при изменении области. Оценки собственных значений
Задачи
§ 9. Волновое уравнение
9.1. Физические задачи, приводящие к волновому уравнению
9.2. Плоские, сферические и цилиндрические волны
9.3. Волновое уравнение как гамильтонова система
9.4. Сферическая волна от мгновение» вспышки и решение задачи Коши для трехмерного волнового уравнения
9.5. Фундаментальное решение трёхмерного волнового оператора и решение неоднородного волнового уравнения
9.6. Двумерное волновое уравнение (метод спуска)
Задачи
§ 10. Свойства потенциалов и их вычисление
10.2. Функции, гладкие вплоть до Г с каждой стороны, и их производные
10.3. Скачки потенциалов
10.4. Вычисление потенциалов
Задачи
§ 11. Волновые фронты и коротковолновое приближение для гиперболических уравнений
11.1. Характеристики, как поверхности разрывов
11.2. Уравнение Гамильтона - Якоби. Волновые франты, бихарактеристики и лучи
11.3. Характеристики гиперболического уравнения
11.4. Быстро осциллирующие решения. Уравнение эйконала и уравнения переноса
11.5. Задача Коши с быстро осциллирующими начальными данными
Задачи
Ответы и указания
Список литературы

© Научная библиотека