Главная > Физика > Лекции об уравнениях математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.3. Скачки потенциалов

Теперь мы можем доказать основную теорему о скачках потенциалов.

Теорема 10.5. 1) Пусть u — один из потенциалов Тогда и является функцией, гладкой вплоть до Г с каждой стороны.

2) Если u — объёмный потенциал, то и

3) Если u — потенциал простого слоя, то , а скачок производной на Г равен -а, где а — плотность заряда на Г, определяющая u.

4) Если u — потенциал двойного слоя, то скачоки на Г равен , где а — плотность (диполей) на Г, определяющая u.

Доказательство. По лемме 10.4 мы можем для каждого из потенциалов найти такую функцию гладкую вплоть до Г с каждой стороны, что (здесь — такая же обобщенная функция, как в формуле ). Следовательно, .

Выведем отсюда, что . Без ущерба для общности мы можем предположить, что имеют компактный носитель. Но тогда , откуда . В то же время легко видеть, что , поскольку представляя эту свёртку в виде интеграла

мы можем N раз дифференцировать по под знаком интеграла.

Итак, . Отсюда производные непрерывны вплоть до Г с каждой стороны. Поскольку N произвольно, мы получаем первое утверждение теоремы.

2) Пусть и — объёмный потенциал. Ясно, что . В окрестности каждой точки гиперповерхности Г мы можем выпрямить Г и использовать уравнение получаемое заменой переменных из уравнения Поскольку оператор Д эллиптичен, оператор А тоже эллиптичен, так что Г нехарактеристична. Но тогда из включения и лемм 10.1, 10.2 вытекает, что им (если бы это было не так, то применение формул и (10.11) привело бы к появлению сингулярной обобщённой функции типа или в правой части уравнения

3) В окрестности точки можно так ввести новые координаты , что — расстояние от точки до Г по нормали к Г.

Тогда и превращаются в и и утверждения 3) и 4) вытекают из лемм 10.1, 10.2 и уравнения которое превращается в , где А имеет вид 10.14.

Замечание. Аналогичным образом можно найти скачки любых производных рассматриваемых потенциалов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление