Главная > Физика > Лекции об уравнениях математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.7. Общее решение однородного гиперболического уравнения с постоянными коэффициентами при n = 2

Как следует из изложенного в предыдущем пункте, гиперболическое уравнение

где , приводится заменой переменных , где — корни квадратного уравнения , к виду

Предполагая, что , где — выпуклая область в , мы получаем, что

откуда и далее

где — произвольные функции класса . В переменных х, у имеем тогда

Полезно рассматривать функции вида (1.32), где не обязательно класса , а из более широкого класса функций (например, , т.е. локально интегрируемы). Такие функции и называются обобщёнными решениями уравнения (1.29). Пусть, например, имеет разрыв рода в точке Тогда будет иметь разрыв вдоль прямой .

Отметим, что линии являются характеристиками. Таким образом, разрывы решений в этом случае распространяются вдоль характеристик. Так обстоит дело и для общих гиперболических уравнений.

Пример. Волновое уравнение имеет характеристики . Общее решение этого уравнения записывается в виде

Заметим, что — волна, бегущая вправо со скоростью а, — волна, бегущая влево со скоростью а. Общее решение есть сумма или, как говорят, суперпозиция (наложение) двух таких волн.

Задачи

1-1. Привести к каноническому виду уравнения:

1-2. Привести к каноническому виду уравнения:

1-3. Найти общее решение уравнений:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление