Главная > Физика > Лекции по теоретической физике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Лекции по квантовой механике

Глава 1. Метод Гамильтона

Я чрезвычайно рад тому, что нахожусь здесь, в Иешивском университете, и имею возможность рассказать вам о некоторых математических методах, развиваемых мною в течение ряда лет. Прежде всего я хотел бы в нескольких словах описать общее направление этих методов.

В атомной теории мы имеем дело с различными полями. Здесь есть ряд очень хорошо известных полей, таких, как электромагнитное и гравитационное; однако в последнее время мы сталкиваемся также с рядом иных полей, поскольку, согласно общим идеям де Бройля и Шредингера, каждой частице сопоставляется волна и эти волны можно рассматривать как поле. Таким образом, в атомной физике перед нами стоит задача построить теорию, описывающую различные поля, взаимодействующие друг с другом. Она должна находиться в согласии с принципами квантовой механики, однако создать такую теорию — весьма нелегкая задача.

Можно получить значительно более простую теорию, если перейти к соответствующей классической механике, которая представляет собой частный случай квантовой механики при стремлении постоянной Планка Н к нулю. Наглядно показать, как строится теория, намного легче в терминах классической механики. Поэтому то, о чем я буду говорить в этих лекциях, будет в основном относиться к классической механике.

Вы можете подумать, что такой способ на самом деле не очень хорош, ибо классическая механика недостаточно пригодна для описания Природы. Природа описывается квантовой механикой. Зачем же нужно тогда обращаться к классической механике? Дело в том, что квантовые теории поля, как я уже сказал, весьма сложны, и до сих пор оказалось возможным построить квантовые теории лишь для полей довольно простого типа с простыми взаимодействиями между ними. Вполне вероятно, что эти простые поля с простыми взаимодействиями между ними не дают адекватного описания Природы. Успехи квантовых теорий поля довольно ограничены. Мы непрерывно сталкиваемся с трудностями и хотели бы расширить общие рамки подхода, что позволит рассматривать поля более общего типа. Например, мы хотели бы учесть возможность того, что уравнения Максвелла будут не всегда справедливыми. Вполне вероятно, что при переходе к областям в непосредственной близости от зарядов, создающих поля, необходимо будет модифицировать теорию Максвелла так, чтобы она стала нелинейной электродинамикой. Это только один пример обобщений, которые полезно рассмотреть в нашем теперешнем состоянии незнания основных идей, основных сил и основного характера полей атомной теории.

Чтобы можно было приступить к этой задаче, т. е. рассмотреть более общие поля, необходимо перейти к классической теории. Далее, если нам удастся придать классической теории гамильтонову форму, то мы всегда сможем, применив некоторые стандартные правила, получить первое приближение квантовой теории. Мои лекции в основном будут посвящены задаче преобразования общей классической теории к гамильтоновой форме. Сделав это, мы вступили на путь получения последовательной квантовой теории. Во всяком случае, мы будем иметь первое приближение.

Конечно, настоящую работу следует рассматривать только как предварительный этап. Окончательным результатом этого этапа должно быть построение последовательной квантовой теории, однако на пути к этой цели встречаются весьма серьезные трудности, трудности фундаментального характера, над преодолением которых люди мучаются немало лет. Трудности перехода от гамильтоновой классической механики к квантовой механике настолько подавляют некоторых, что они начинают думать: а может быть, и весь метод, основанный на классической теории Гамильтона, является неудовлетворительным? Особенно в последние несколько лет предпринимались попытки развить

иные методы построения квантовых теорий поля. На этом пути был достигнут вполне ощутимый прогресс. Был получен ряд условий, которые должны удовлетворяться. Однако эти альтернативные методы, хотя и позволили значительно продвинуться в объяснении экспериментальных результатов, едва ли приведут к окончательному решению проблемы. Мне кажется, что при таких подходах всегда будет теряться нечто такое, что можно получить только при использовании гамильтониана или, возможно, некоторого обобщения понятия гамильтониана. Поэтому я придерживаюсь той точки зрения, что гамильтониан действительно очень существенен для квантовой теории.

В самом деле, без использования гамильтоновых методов нельзя решить некоторые из простейших задач квантовой теории, например получить формулу Бальмера для водорода, самый первый из результатов квантовой механики. Следовательно, гамильтониан появляется в теории при самых элементарных подходах, и мне кажется, что и по существу очень важно исходить из гамильтониана; поэтому я хочу рассказать вам о том, насколько далеко можно развить гамильтоновы методы.

Мне хотелось бы начать с элементарного подхода, и в качестве отправной точки я возьму принцип действия. Именно, я полагаю, что существует интеграл действия, зависящий от вида движения системы, такой, что из условия его стационарности при изменении движения мы получаем уравнения движения. Метод, исходящий из принципа действия, обладает одним большим преимуществом: он позволяет легко согласовать теорию с принципом относительности. Необходимо, чтобы наша атомная теория была релятивистской, ибо в общем случае мы имеем дело с частицами, движущимися с большими скоростями.

Если мы хотим ввести в рассмотрение гравитационное поле, то мы должны согласовать нашу теорию с общим принципом относительности, а это означает, что нам придется работать с искривленным пространством-временем. Однако гравитационное поле не очень существенно в атомной физике, так как гравитационные силы чрезвычайно слабы по сравнению с другими силами, действующими в атомных процессах, и для практических целей можно пренебречь гравитационным полем. Вопрос о введении гравитационного поля в квантовую теорию был исследован до некоторой степени в последние годы, и я думаю, что основным стимулом этой работы была надежда, что учет его может помочь преодолеть некоторые трудности. Насколько можно судить в настоящее

время, эта надежда не оправдалась, и введение гравитационного поля, по-видимому, скорее добавляет осложнения, нежели устраняет их. Таким образом, введение гравитационных полей в атомную теорию не дает особых преимуществ. Однако методы, которые я намерен описать, являются мощными математическими методами, пригодными независимо от того, учитывается гравитационное поле или нет. Начнем с интеграла действия, который я обозначу

Он выражен в виде интеграла по времени, причем подынтегральное выражение L представляет собой лагранжиан. Таким образом, вместе с принципом действия мы имеем лагранжиан. Теперь нужно выяснить, как перейти от лагранжиана к гамильтониану. Когда мы получим гамильтониан, мы сделаем первый шаг на пути к построению квантовой теории.

Вы могли бы задать следующий вопрос: а нельзя ли взять в качестве исходной величины гамильтониан и тем самым сократить работу, связанную с получением из интеграла действия, взятого в качестве отправного пункта, лагранжиана и с переходом от лагранжиана к гамильтониану? При попытке провести такое сокращение наталкиваются на трудность — оказывается, совсем нелегко сформулировать в терминах гамильтониана условия, при которых теория является релятивистской. С помощью интеграла действия эти условия сформулировать очень легко: нужно просто потребовать, чтобы интеграл действия был релятивистски инвариантен. Нетрудно привести сколько угодно примеров интегралов действия, релятивистски инвариантных. Все они автоматически приведут к уравнениям движения, согласующимся с требованиями теории относительности, и поэтому любой вывод, основанный на таком интеграле действия, будет также находиться в согласии с теорией относительности.

Получив гамильтониан, мы можем применить стандартный метод и найти первое приближение квантовой теории; если нам повезет, то, возможно, мы окажемся в состоянии продвинуться дальше и построить

строгую квантовую теорию. Вы снова могли бы спросить: нельзя ли до некоторой степени сократить эту работу? Может быть, можно перейти прямо от лагранжиана к квантовой теории и вовсе обойтись без гамильтониана? Что ж, в некоторых простых случаях это можно сделать. Для некоторых простых типов полей, рассматриваемых в физике, лагранжиан квадратичен по скоростям и подобен лагранжиану, используемому в нерелятивистской динамике частиц. Применительно к таким ситуациям, когда лагранжиан квадратичен по скоростям, разработаны некоторые методы непосредственного перехода от лагранжиана к квантовой теории. Однако это ограничение случаем только квадратичных по скоростям лагранжианов является чрезвычайно жестким. Я хочу избежать этого ограничения и работать с лагранжианом, который может быть совершенно произвольной функцией скоростей. Чтобы получить общий формализм, который будет применим, например, к нелинейной электродинамике, упомянутой мною выше, по моему мнению, нельзя никоим образом сократить процедуру, связанную с получением из интеграла действия, взятого в качестве исходной величины, лагранжиана, с переходом от лагранжиана к гамильтониану и затем с переходом от гамильтониана к квантовой теории. Это и есть та процедура, которую я хочу обсудить в настоящем курсе лекций.

Чтобы выразить все наиболее простым образом, я хотел бы начать с динамической теории систем, имеющих только конечное число степеней свободы и подобных тем, с которыми вы знакомы из динамики частиц. После этого переход от системы с конечным числом степеней свободы к системе с бесконечным числом степеней свободы (что нам нужно для теории поля) есть уже чисто формальная задача.

Рассматривая систему с конечным числом степеней свободы, введем динамические координаты, которые я обозначу через q или где — число степеней свободы). Затем мы имеем скорости Лагранжиан является функцией координат и скоростей.

На этом этапе вас может до некоторой степени смутить то значение, которое придается временной переменной в этом формализме. Временная переменная t появляется уже, как только мы вводим лагранжиан. Она снова встречается в определении скоростей, и, таким образом, при переходе от лагранжиана к гамильтониану имеется одна выделенная временная переменная. С релятивистской точки зрения это означает, что мы выбираем одного определенного наблюдателя и на

всех этапах нашего формализма ведем отсчет времени по часам этого наблюдателя. Это, конечно, не очень уж приятно физику-релятивисту, который предпочел бы рассматривать всех наблюдателей на равных основаниях. Однако такова характерная черта данного формализма, и я не вижу, как ее устранить, если мы хотим сохранить общность рассмотрения, допуская, что лагранжиан может быть произвольной функцией координат и скоростей. Мы можем быть уверены, что содержание теории является релятивистским, даже если форма уравнений не является явно релятивистской из-за наличия одного выделенного времени, играющего доминирующую роль в теории.

Давайте теперь разовьем эту лагранжеву форму динамики и перейдем затем к гамильтоновой форме, следуя возможно более близко тем идеям, с которыми мы встречаемся в динамике при использовании координат общего вида. Мы имеем лагранжевы уравнения движения, получающиеся в результате варьирования интеграла действия

Чтобы перейти к гамильтонову формализму, мы введем импульсные переменные , определив их как

В обычной динамической теории делается предположение, что импульсы являются независимыми функциями скоростей, но это предположение является слишком жестким для тех приложений теории, которые мы намерены рассмотреть. Мы хотим допустить возможность того, что эти импульсы не являются независимыми функциями скоростей. В таком случае существуют некоторые соотношения типа связывающие импульсные переменные.

Может быть несколько независимых соотношений этого типа; в таком случае мы перенумеруем их, снабдив индексом , так что мы будем иметь

Величины q и р являются динамическими переменными теории в гамильтоновой форме. Они связаны соотношениями (1.4), которые называются первичными связями в гамильтоновом формализме. Эта терминология введена Бергманом, и она представляется мне вполне удачной.

Рассмотрим теперь величину . (Всякий раз, когда встречается повторяющийся индекс, я подразумеваю, что проводится суммирование по всем значениям этого индекса.) Возьмем вариации переменных q и q — координат и скоростей. Эти вариации приведут к появлению вариаций импульсных переменных р. В результате этого варьирования, с учетом определения (1.3), получим

Теперь мы видим, что вариация величины содержит только вариации координат q и импульсов р. Она не содержит вариаций скоростей. Это означает, что такую величину можно выразить через q и р независимо от скоростей. Выраженная таким образом, она называется гамильтонианом Н.

Однако гамильтониан, определенный таким способом, задан неоднозначно, ибо мы можем добавить к нему любую линейную комбинацию величин , равную нулю. Таким образом, мы перешли бы к другому гамильтониану

(1.6)

где коэффициенты могут быть произвольными функциями q и р. Гамильтониан Н ничем не хуже наша теория не может провести различия между Н и Н. Гамильтониан определен неоднозначно.

Можно записать (1.5) в виде

Это уравнение справедливо для произвольной вариации q и р, подчиненной тому условию, что связи (1.4) сохраняются неизменными. Переменные q и р нельзя варьировать независимо ввиду того, что они ограничены условиями (1.4), но для любой вариации q и р, удовлетворяющей этим условиям, данное уравнение выполняется. Согласно общему методу вариационного исчисления, примененному к вариационному уравнению со связями данного типа, находим

или, используя (1.2) и (1.3)

где — неизвестные коэффициенты. Здесь мы имеем гамильтоновы уравнения движения, описывающие изменение во времени переменных q и р, но эти уравнения содержат неизвестные коэффициенты

Удобно использовать специальное обозначение, которое позволит нам кратко записать эти уравнения, а именно скобки Пуассона. Смысл этого обозначения таков: если мы имеем две функции q и р, скажем, , то скобка Пуассона для них определяется как

Скобки Пуассона обладают некоторыми свойствами, вытекающими из их определения, а именно: скобка антисимметрична по f и g:

линейна по каждому члену:

при этом справедливо следующее правило для произведений:

Наконец, существует соотношение, известное как тождество Якоби, связывающее три величины:

С помощью скобок Пуассона мы можем иначе записать уравнения движения. Для произвольной функции g переменных q и р мы имеем

Если подставить вместо их значения, заданные уравнениями (1.7) и (1.8), то мы найдем, что величина (1.14) равна просто

Таким образом, все уравнения движения записываются в компактном виде в формализме, использующем скобки Пуассона.

Можно записать их в еще более краткой форме, если несколько обобщить понятие скобок Пуассона. В том виде, в каком я определил скобки Пуассона, они имеют смысл только для таких величин которые можно выразить как функции переменных q и р. Величина более общей природы, например, обобщенная переменная скорости, которая не выражается через q и р, не имеет скобок Пуассона с другой величиной. Расширим понятие скобок Пуассона и будем считать, что они существуют для любых двух величин и что они удовлетворяют правилам (1.10)-(1.13), но в остальном не определены, когда входящие в них величины не являются функциями переменных q и р.

Тогда мы можем записать (1.15) как

Как видите, коэффициенты и появляются здесь в одном из членов скобки Пуассона. Коэффициенты не являются функциями , поэтому мы не можем использовать определение (1.9) для вычисления скобки Пуассона в (1.16). Однако мы можем продолжить исследование ее, используя правила (1.10)-(1.13). Согласно правилу (1.11) имеем

а используя правило для произведений (1.12), получаем

Последняя скобка в (1.18) вполне определена, так как q и обе являются функциями переменных q и р. Скобка Пуассона не определена, но она умножается на величину обращающуюся в нуль. Поэтому первый член в правой части (1.18) исчезает. В результате

(1.19)

так что (1.16) совпадает с (1.15).

Существует одно обстоятельство, из-за которого мы должны быть осторожны при использовании формализма скобок Пуассона. Мы имеем связи (1.4), но мы не должны пользоваться ни одним из условий связи до вычисления скобок Пуассона. Если мы сделаем это, то придем к неверному результату. Поэтому мы примем как правило, что все скобки Пуассона должны быть раскрыты до использования условий связи. Чтобы помнить о наличии в формализме этого правила, я запишу связи (1.4) в форме уравнений со знаком равенства в виде двух волнистых линий и, т.е. со знаком, отличающимся от обычного. Таким образом, они записываются как

Я буду называть такие уравнения слабыми, чтобы отличать их от обычных, или сильных уравнений.

Условие (1.20) можно использовать только после того, как раскрыты все интересующие нас скобки Пуассона. При условии выполнения этого правила скобка Пуассона (1.19) вполне определена, и мы имеем возможность записать наши уравнения движения (1.16) в весьма сжатой форме:

с гамильтонианом, который я буду называть полным гамильтонианом,

(1.22)

Рассмотрим теперь, каковы следствия из этих уравнений движения. Прежде всего, появятся некоторые условия непротиворечивости. Мы имеем величины , которые должны быть равны нулю в каждый момент времени. Мы можем применить уравнение движения (1.21) или (1.15), взяв в качестве g одну из функций . Мы знаем, что для непротиворечивости метода величина должна быть равна нулю, и, таким образом, получаем некоторые условия непротиворечивости. Посмотрим, как они выглядят. Полагая в , получаем

Мы имеем здесь несколько условий непротиворечивости, по одному для каждого значения индекса . Мы должны исследовать эти

условия и выяснить, к чему они ведут. Возможно, что эти условия непосредственно приводят к противоречию. Они могут привести к противоречию типа Если такое случается, то это означает, что наш исходный лагранжиан таков, что лагранжевы уравнения движения противоречивы. Можно легко построить пример со всего лишь одной степенью свободы. Если мы возьмем L = q, то лагранжево уравнение движения (1.2) немедленно даст Таким образом, как вы видите, нельзя задавать лагранжиан совершенно произвольно. Мы должны при выборе лагранжиана потребовать, чтобы лагранжевы уравнения движения не содержали внутреннего противоречия. С учетом этого требования условия, выражаемые уравнениями (1.23), можно разбить на три класса.

Условия первого класса сводятся к тождеству т. е. они удовлетворяются автоматически при учете первичных связей.

Условия второго класса сводятся к уравнениям, не зависящим от коэффициентов и, т. е. содержащим только переменные q и р. Такие условия не должны зависеть от первичных связей, иначе они относились бы к условиям первого класса. Таким образом, они имеют вид

Наконец, существуют среди условий (1.23) такие, которые невозможно отнести ни к какому из рассмотренных классов; они представляют собой условия, налагаемые на коэффициенты и.

Условия первого класса не должны больше нас беспокоить. Каждое условие второго класса означает, что мы имеем еще одну связь между гамильтоновыми переменными. Связи, возникающие таким путем, называются вторичными связями. Они отличаются от первичных связей тем, что первичные связи являются просто следствиями уравнений (1.3), определяющих импульсные переменные, тогда как для получения вторичных связей нужно использовать также и лагранжевы уравнения движения.

Если в нашей теории появляется вторичная связь, то мы получаем еще одно условие непротиворечивости, потому что мы можем вычислить величину с помощью уравнения движения (1.15) и потребовать, чтобы . Таким образом, мы приходим еще к одному условию

Это условие нужно исследовать с тех же позиций, что и (1.23). Мы снова должны выяснить, к какому из трех классов оно относится. Если

оно представляет собой условие второго класса, то мы должны продолжить процесс классификации еще на один этап, поскольку здесь мы имеем добавочную вторичную связь. Мы продолжаем подобным образом до тех пор, пока не исчерпаем все условия непротиворечивости, и в качестве конечного результата у нас останется ряд вторичных связей типа (1.24) вместе с набором условий типа (1.23), налагаемых на коэффициенты и.

Во многих случаях мы будем рассматривать вторичные связи на равных основаниях с первичными. Удобно использовать для них следующее обозначение:

где K — полное число вторичных связей. Их следует записывать, так же как и первичные связи, в виде слабых уравнений, поскольку они также представляют собой уравнения, которыми мы не должны пользоваться до вычисления скобок Пуассона. Таким образом, всю совокупность связей можно записать так:

Обратимся теперь к оставшимся условиям третьего класса. Мы должны выяснить, какие ограничения они налагают на коэффициенты и. Эти условия суть

где по индексу m суммирование проводится от 1 до М, a j принимает любое значение от 1 до J. Эти уравнения содержат условия, которым должны подчиняться коэффициенты и, коль скоро данные уравнения не сводятся просто к связям.

Посмотрим на эти уравнения с другой точки зрения. Предположим, что коэффициенты и неизвестны и (1.28) представляет собой систему неоднородных линейных уравнений относительно этих неизвестных и, коэффициентами в которых служат функции переменных q и р. Будем искать решение этой системы уравнений, которое даст нам и как функции от q и р, скажем,

Решение такого типа должно существовать, ибо обратное означало бы, что лагранжевы уравнения движения противоречивы, и этот случай мы отбрасываем.

Решение оказывается неоднозначным. Если у нас есть одно решение, мы можем прибавить к нему произвольное решение однородной системы уравнений, соответствующей (1.28):

и получим таким способом другое решение неоднородной системы уравнений (1.28). Мы хотим получить общее решение уравнений (1.28), а это означает, что мы должны рассмотреть все независимые решения системы (1.30), которые мы можем обозначить через . Тогда общее решение системы (1.28) имеет вид

где коэффициенты могут быть произвольными.

Подставим эти выражения для и в полный гамильтониан (1.22) нашей теории. Это даст нам следующее выражение для полного гамильтониана:

Мы можем записать его как

где

(1.33а)

и

Используя полный гамильтониан (1.33), мы по-прежнему будем иметь уравнения движения (1.21).

Проведенный анализ показывает, что мы удовлетворили всем требованиям непротиворечивости теории и все еще имеем произвольные коэффициенты v. Их число обычно меньше числа коэффициентов и.

Коэффициенты и не произвольны — они должны удовлетворять требованиям непротиворечивости, тогда как коэффициенты v являются произвольными величинами. Мы можем взять в качестве v произвольные функции времени, и тем не менее все требования нашей динамической теории будут выполняться.

В этом состоит отличие обобщенного гамильтонова формализма от того, с которым мы знакомы из элементарной динамики. Здесь мы имеем произвольные функции времени, входящие в общее решение уравнений движения с заданными начальными условиями. Наличие этих произвольных функций времени означает, что мы используем математический аппарат, содержащий произвольные характеристики, например, координатную систему, которую можно выбрать некоторым произвольным образом, или калибровку в электродинамике. В результате наличия этого произвола в математическом аппарате динамические переменные в последующие моменты времени не полностью определяются их начальными значениями, и это проявляется в наличии произвольных функций в общем решении.

Нам нужно ввести терминологию, которая отражала бы характер величин, встречающихся в формализме. Мне кажется полезной следующая терминология. Я называю, по определению, некоторую динамическую переменную R, являющуюся функцией от q и р, динамической переменной первого рода, если ее скобки Пуассона со всеми равны нулю:

Достаточно, если эти условия выполняются в смысле слабых равенств. В противном случае R относится к переменным второго рода. Если R является переменной первого рода, то величина должна быть равна в сильном смысле некоторой линейной функции от так как все, что слабо исчезает в настоящей теории, в сильном смысле равно некоторой линейной функции от величин По определению являются единственными независимыми величинами, слабо равными нулю. Поэтому мы имеем сильные уравнения

Прежде чем переходить к дальнейшему, я хотел бы доказать следующую теорему.

Теорема. Скобка Пуассона двух величин первого рода также является величиной первого рода.

Доказательство.

Пусть R и S — переменные первого рода. Тогда, согласно (1.36), мы имеем

(1.36а)

Составим скобку Пуассона . Мы должны раскрыть ее с помощью тождества Якоби (1.13):

Здесь мы использовали уравнения (1.36) и (1.36а), затем правило произведений (1.12) и уравнение (1.20). Вся эта величина слабо исчезает. Таким образом, мы доказали, что является величиной первого рода.

Мы имеем уже четыре различных типа связей. Мы можем разделить их на связи первого и второго рода совершенно независимо от их разделения на первичные и вторичные.

Я хотел бы обратить ваше внимание на то, что величины Н и определяемые согласно (1.33а) и (1.34), представляют собой величины первого рода. Составив скобку Пуассона мы получим согласно (1.34) плюс слабо исчезающие члены. Поскольку по способу определения удовлетворяет уравнению (1.30), есть величина первого рода. Аналогично уравнение (1.28) с заменой на показывает, что Н — величина первого рода. Таким образом, выражение (1.33) задает полный гамильтониан в виде комбинации гамильтониана Н — величины первого рода — и некоторых функций — также величин первого рода.

Любая линейная комбинация , конечно, также является связью, и если мы возьмем линейную комбинацию первичных связей, то в результате получим еще одну первичную связь. Поэтому каждая из величин является первичной связью, и она относится к первому роду. Таким образом, в итоге мы выразили полный гамильтониан в виде

суммы гамильтониана — величины первого рода — и линейной комбинации первичных связей первого рода.

Число независимых произвольных функций времени, входящих в общее решение уравнений движения, равно числу значений, которые принимает индекс а. Оно равно числу независимых первичных связей первого рода, потому что все независимые первичные связи первого рода входят в сумму (1.33).

Итак, мы обрисовали общую ситуацию. Мы пришли к ней, исходя именно из уравнений движения Лагранжа, переходя к гамильтониану и раскрывая вид условий непротиворечивости.

С практической точки зрения можно, исходя из свойств преобразования интеграла действия, указать, какие произвольные функции времени войдут в общее решение уравнений движения. Каждой из этих функций времени должна соответствовать некоторая первичная связь первого рода. Поэтому мы можем заранее сказать, какими будут первичные связи первого рода, не проводя вовсе подробного вычисления скобок Пуассона; в практических приложениях данной теории мы, очевидно, сможем сберечь немало сил, используя этот метод.

Я хотел бы продвинуться несколько дальше и рассмотреть еще одну характерную черту теории. Попытаемся понять с физической точки зрения такую ситуацию: мы исходим из заданных начальных значений переменных и получаем решение уравнений движения, содержащее произвольные функции. Нужные нам начальные значения переменных задаются для переменных q и р. Нам не нужно задавать начальные значения коэффициентов v. Начальные значения q и р соответствуют, как говорят физики, начальному физическому состоянию системы. Физическое состояние определяется только переменными q и р, а не коэффициентами V.

Далее, начальное состояние должно определять состояния и в последующие моменты времени. Но значения переменных q и р неоднозначно определяются в последующие моменты времени по начальным значениям, поскольку у нас появляются произвольные функции v. Это означает, что состояние неоднозначно определяет набор значений переменных q и р, несмотря на то, что этот набор q и р однозначно определяет состояние. Должно существовать несколько вариантов выбора q и р, соответствующих одному и тому же состоянию. Таким образом, перед нами стоит задача отыскать все наборы значений переменных q и р, которые соответствуют одному частному физическому состоянию.

Все эти значения переменных q и р в определенный момент времени, которые могут получиться в результате развития из одного начального состояния, должны соответствовать одному и тому же физическому состоянию в этот момент. Давайте возьмем некоторые частные начальные значения переменных q и р в момент времени t = 0 и посмотрим, какими будут значения q и р через небольшой промежуток времени . Значение произвольной динамической переменной g, имевшей начальное значение , в момент времени есть

Коэффициенты v совершенно произвольны и находятся в нашем распоряжении. Предположим, что мы возьмем для этих коэффициентов иные значения, например v. Это привело бы к другому значению отличающемуся на

Эту величину можно записать как

где

представляет собой произвольное малое число, малое из-за наличия коэффициента и произвольное ввиду того, что величины v и v могут быть какими угодно. Мы можем изменить все наши гамильтоновы переменные согласно правилу (1.39), и новые гамильтоновы переменные будут описывать то же самое состояние. Это изменение гамильтоновых переменных осуществляется путем бесконечно малого контактного преобразования с производящей функцией . Мы приходим к тому заключению, что величины впервые появляющиеся в теории как первичные связи первого рода, имеют следующий смысл: они в качестве производящих функций (генераторов) бесконечно малых контактных преобразований приводят к таким изменениям переменных , которые не связаны с изменением физического состояния.

Однако это еще не конец. Можно продвинуться дальше в том же направлении. Предположим, что мы применяем последовательно два таких контактных преобразования. Проведем сначала первое контактное

преобразование с производящей функцией , а затем второе контактное преобразование с производящей функцией , где — некоторые новые малые коэффициенты. Мы получим окончательно

(Я сохраняю члены второго порядка, содержащие произведения но пренебрегаю членами второго порядка, пропорциональными или . Это приближение является законным, и оно достаточно для наших целей. Я не хочу выписывать больше, чем мне на самом деле нужно для получения искомого результата.) Если последовательно применить два преобразования в обратном порядке, то мы получим

Давайте теперь вычтем один результат из другого. Разность будет равна

На основании тождества Якоби (1.13) это выражение сводится к

Величина также должна соответствовать такому изменению переменных q и р, которое не связано с изменением физического состояния, поскольку эта величина возникает в результате комбинации ряда процессов, в каждом из которых по отдельности физическое состояние остается неизменным. Таким образом, ясно, что можно использовать величину

в качестве производящей функции бесконечно малого контактного преобразования, которое не связано с изменением физического состояния.

Вспомним теперь, что являются величинами первого рода, а поэтому скобки Пуассона для них слабо равны нулю и, следовательно, равны в сильном смысле некоторой линейной комбинации величин . Эта линейная комбинация величин также должна быть первого рода согласно доказанной несколько ранее теореме, по которой скобка Пуассона двух величин первого рода также есть величина первого рода.

Таким образом, мы видим, что преобразования, получаемые таким путем и не связанные с каким-либо изменением физического состояния, представляют собой преобразования, производящими функциями (генераторами) которых являются связи первого рода. Эти преобразования оказываются более общими, по сравнению с рассмотренными выше, лишь в одном отношении. Производящие функции, которые мы имели прежде, должны были быть первичными связями первого рода. Производящие функции, которые мы получаем теперь, могут быть вторичными связями первого рода. Этот расчет показывает, что мы могли бы иметь вторичную связь первого рода в качестве производящей функции бесконечно малого контактного преобразования, которое приводит к изменению переменных q и р, но не связано с изменением состояния.

Нам нужно было бы, ради полноты, провести еще одно небольшое исследование, которое показывает, что скобка Пуассона гамильтониана Н (величины первого рода) со связью первого рода опять является линейной функцией связей первого рода. Снова можно показать, что эта величина оказывается возможной производящей функцией для бесконечно малых контактных преобразований, которые не связаны с изменением состояния.

Окончательный вывод состоит в том, что преобразованиями динамических переменных, которые не связаны с изменением физических состояний, являются бесконечно малые контактные преобразования, производящая функция которых представляет собой первичную связь первого рода или, возможно, вторичную связь первого рода. Значительная часть вторичных связей первого рода получается как (1.45) или как Возможно, по моему мнению, что все вторичные связи первого рода следует отнести к классу генераторов преобразований, которые не связаны с изменением физического состояния, но мне не удалось доказать это. Мне также не удалось найти ни одного примера, в котором имелись бы вторичные связи первого рода, порождающие изменения физического состояния.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление