Главная > Физика > Лекции по теоретической физике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

20. Тензорные плотности

Элемент четырехмерного объема при преобразованиях координат преобразуется по закону:

где J — якобиан;

Для краткости запишем (20.1) в виде

Учтем, что

Правую часть этого выражения можно рассматривать как произведение трех матриц; у первой матрицы индекс а обозначает строки, индекс — столбцы; у второй матрицы индекс обозначает строки, индекс v — столбцы; у третьей матрицы индекс v обозначает строки, индекс — столбцы. Это произведение равно матрице из левой части. Соответствующее соотношение должно иметь место и для детерминантов, поэтому

Далее, так как g является отрицательно определенной величиной, можно образовать , где подкоренное выражение выбрано положительно определенным. Таким образом,

Пусть S — некоторое скалярное поле. Для него . Тогда

при условии, что область интегрирования в координатах соответствует области интегрирования в координатах . Следовательно,

Назовем величину интеграл от которой является инвариантом, скалярной плотностью.

Аналогично для любого тензорного поля величину можно назвать тензорной плотностью. Когда область интегрирования мала, является тензором. Если область интегрирования не мала, то этот интеграл не будет тензором, так как он представляет

собой сумму тензоров, заданных в разных точках и, следовательно, не преобразуется по какому-либо простому закону при преобразованиях координат.

Величина в дальнейшем используется очень часто. Далее для краткости будем записывать ее в виде Так как

то формула (14.5) дает

и формулу (14.6) можно записать в виде

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление