Главная > Физика > Лекции по теоретической физике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Невырожденная скобка. Симплектическая структура.

Если скобка Пуассона является невырожденной, то ей однозначно сопоставляется замкнутая невырожденная -форма. Действительно, для любой гладкой функции F операция является дифференцированием и задает некоторый касательный вектор на М. Все касательные векторы можно представить в таком виде. Определим -форму по формуле

Из аксиом следует, что она билинейна, кососимметрична, невырождена и замкнута. Эта -форма называется симплектической структурой, а многообразие М — симплектическим многообразием. В общем случае форма имеет вид , где в каноническом случае . К такому виду по теореме Дарбу [3] приводится локально всякая симплектическая структура.

Обратно, невырожденная форма позволяет установить изоморфизм касательного ТХМ и кокасательного пространств: вектору ставится в соответствие -форма где . Пусть — обратное отображение. Легко проверить, что скобка Пуассона двух функций F, G, заданная формулой удовлетворяет условиям и условию невырожденности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление